3D-Punkt (XY)-Diagramm

Dass man ein Punkt (XY)-Diagramm zur Darstellung von Geometrie verwenden kann, wenn man für Verzerrungsfreiheit sorgt, habe ich mittels Punkt (XY)-Diagramm unverzerrt realisiert. In Belastungsverteilung tat ich damit erstmals den Schritt in die 3. Dimension, wobei alle 3 Euler-Winkel frei einstellbar sind, und 8 vordefinierte Ansichten zur Auswahl stehen.

Da ich räumliche Darstellungen wiederholt benötige, habe ich mir eine Vorlage generiert, die sich schnell in neue Projekte integrieren lässt. Die z-Achse ist dabei wie in der Axonometrie stets vertikal ausgerichtet, wodurch nur noch zwei Drehwinkel definiert werden müssen: Jener um die z-Achse und der Winkel um die Horizontale. Diese Winkel können als beliebiger Zahlenwert eingegeben oder schrittweise mittels Bildlaufleiste definiert werden. Natürlich gibt es auch wieder die 8 vordefinierten Ansichten (Isometrisch, Dimetrisch, Oben, Unten, Vorne, Hinten, Rechts und Links), die mittels Kombinationsfeld oder Listenfeld gewählt werden können. Je nach Geschmack kann eines der beiden Elemente gelöscht und der Code (gemäß dortiger Anleitung) angepasst werden.

Die benötigte Mathematik (Gesamt-Drehmatrix zufolge Multiplikation 2er Drehmatrizen, transformierte Punkte und deren Extremwerte für die Achsendefinition) ist via Namen komplett ausgelagert, was auch für die Daten des Diagramms (Achsen und Datenreihen) gilt. Auf dem Tabellenblatt befinden sich also nur benötigte Eingaben für Punkte und Winkel und die Ansichtsbezeichnungen für die Listen.

Die folgenden Datei enthält ein Punkt (XY)-Diagramm, das zur 3-dimensionalen Darstellung genutzt wird. Da es mir als Vorlage sehr dienlich ist, mag es auch für andere geeignet sein:

Titanic-Frontalcrash

In der 2013er-Ausgabe, der sehr empfehlenswerten Serie “Denkanstöße” des Piper-Verlags, findet sich ein Ausschnitt aus Metin Tolans Buch “Titanic – Mit Physik in den Untergang”. Auch populärwissenschaftliche Literatur sollte Einsteins Prämisse “Mache die Dinge so einfach wie möglich – aber nicht einfacher” beherzigen. Übertriebene Simplifizierungen aus Rücksicht auf die breite Leserschaft sollten demgemäß unterbleiben. Dies war der Grund, warum ich die Idealisierung des Schiffs als masselose Feder mit dessen Gesamtmasse im Heck via E-Mail bemängelte. Leider vergeblich auf eine Antwort wartend, verlor sich flugs mein Fokus darauf.
Dann “erschien” mir der Professor für Experimentalphysik vor kurzem zufällig in einem automatisch nachfolgenden YouTube-Video, worin er kabarettistisch über Flugbahnen bei James Bond doziert. An die “verjährte” Leseprobe erinnert, kramte ich den damals in meinem “Sudelordner” abgehefteten Separationsansatz der partiellen Differentialgleichung für die frontale Kollision mit dem Eisberg heraus, und las abermals den betreffenden Abschnitt, um – noch kritischer – Folgendes zu erkennen:

  1. Es wird vorausgesetzt, dass die gesamte kinetische Energie in Verformungsenergie umgewandelt wird, ohne zu berücksichtigen, dass der Schiffsrumpf – um dies ertragen zu können – dabei aus allerbestem Federstahl bestehen müsste, da sich eine Höchstspannung von 1.568 MPa aufbauen würde.
  2. Die überraschende und gleichermaßen untaugliche Annahme ist aber, dass die dabei auftretende, geichmäßig über den ganzen Schiffsrumpf verteilte, elastische (!) Verkürzung von 2,11 m dann scheinbar schlagartig als plastischer Schaden am Bug auftritt!
  3. Weil dies von den etwa 20 m bei Computersimulationen weit entfernt ist, werden im Anschluss seitlich wirkende Scherkräfte postuliert.

Folgende Fragen seien erlaubt:

  1. Wäre ein sinusförmiger Verschiebungsverlauf nicht schon alleine deswegen richtiger, weil der Bug dann wegen der daraus folgenden nichtlinearen Dehnungen und somit Spannungen “weiß”, dass er am höchsten belastet ist und nachgeben sollte?
  2. Müsste das Ende der Elastizität hinsichtlich der tatsächlichen Streckgrenze, die Herr Foecke in NIST-IR 6118 – Metallurgy of the RMS Titanic mitteilt, nicht schon nach nur 0,36 bzw. vielmehr 0,23 m gekommen sein?
  3. Sollte man für die restliche Energie dann nicht beispielsweise die Ludwik-Gleichung bemühen, um die Spannungs-Dehnungs-Kurve des Werkstoffs zu approximieren, damit die spezifische plastische Energie errechnet werden kann?
  4. Wären dann 12,5 oder besser 13,1 m plastische Verkürzung nicht ausreichend realitätsnah, wenn man bedenkt, dass der Bug tatsächlich “spitz” endet?

Von den 4 Wochenstunden Experimentalphysik am Beginn meines Maschinenbaustudiums ist kaum etwas geblieben, was Goethes Worte “Wir behalten von unseren Studien am Ende doch nur das, was wir praktisch anwenden” bestätigt. Technische Mechanik praktiziere ich allerdings bis heute. Wie dies bei Herrn Tolan – fachlich quasi umgekehrt – gelagert ist, kann nur er selbst wissen!

Die folgende Datei zeigt die Effekte obiger Annahmen und Fragen:

PS: Den bis heute anhaltenden, eigentlich unangebrachten Hype um den Untergang der Titanic schildert Professor Lehmann sehr treffend in 100 Jahre Titanic!

Bolzen-Verdrehsicherung

Sind Bolzen höher belastet oder/und schmierbar ausgelegt, dürfen sie sich im Allgemeinen nicht verdrehen. Einerseits sollen die Schmierbohrungen nicht im Pressungsbereich zu liegen kommen, andererseits darf die Kerbwirkung dieser Bohrungen nicht in die höchstbelasteten Randfasern gelangen. In der Praxis finden sich, abgesehen vom klassischen Achshalter, die unterschiedlichsten Lösungen, oftmals mit Schweißungen und Bohrungen, die nachteilig für die (Dauer-)Festigkeit sind. Viele Ausführungen könnten als quasi Werknormen betrachtet werden, denen man die Vorlieben und Möglichkeiten früherer (eigener) Fertigungsmöglichkeiten ansieht! Die vorgeschlagene Ausführung der Bolzen-Verdrehsicherung geht – angenähert durch einfache Kreisbögen – vom Prinzip der geschlossenen Epizykloide und Hypozykloide (Hypotrochoide) aus. Deren Verwandte in Form des Innensechsrunds (Torx) und der Polygonprofile sind bekannt. Es liegt also ein mehrfacher Formschluss vor, der gedrungen bleiben kann und somit wenig Zerspanungsvolumen nach sich zieht, wobei obig erwähnte Schweißungen und Bohrungen samt deren Nachteilen entfallen. Die Ausführungsmöglichkeiten wurden bereits umfangreich mittels Excel (Optimierung via Solver) und CAD beleuchtet. Dies und Prinzip-Skizzen samt mathematischer Herleitungen können zur Findung einer bestmöglichen Ausführung zur Verfügung gestellt werden.

Obiges ist die Beschreibung eines am 18.01.2017 ans ASI übermittelten Projektantrags, dem folgendes Schicksal beschieden war:
“Das Komitee 029 hat in seiner 629. Sitzung, am 21. Juni 2017 folgendes bzgl. Ihres Projektantrages beschlossen: Da dieses Normprojekt derzeit keine Marktrelevanz aufweist und sich auch keine weiteren Stakeholder für eine Beteiligung an der Mitwirkung eines derartigen Normprojektes während der Einspruchsphase gemeldet haben, ist das Komitee 029 der Meinung, dieses Vorhaben nicht zu starten. Es wird daher einstimmig beschlossen, den Projektantrag nicht in das Arbeitsprogramm aufzunehmen und daraus folgend kein Normprojekt zu starten.”

Da die “Beschreibung, was sein würde, wenn die Norm/ONR nicht er- oder überarbeitet wird” lautet: “Dann würde ich meine Erkenntnisse als bereits vorliegende Excel-Berechnungen auf meiner privaten Homepage www.excelution.at präsentieren.”, biete ich für Interessenten 2 Downloads an:

Die Excel-Datei enthält, ausgehend von der einst selbst entwickelten singulären Parabel, die mehrfachen Zykloiden und deren Vereinfachungen, wobei der Sonderfall als “einfachste” Form auch für die optimierte Auslegung zur Verfügung steht:

Die STEP-Baugruppen-Datei beinhaltet dazu alle 5 Varianten, wie sie in der Excel-Datei optimiert wurden. Die Ausführung ist dabei die – zumindest für mich – denkbar einfachste, da die Verdrehsicherung zugleich die Aufgabe der Lagerung übernimmt (Dicke t muss entsprechend erhöht werden) und der Kopf durch einen Sprengring nach DIN 5417 für Wälzlager gemäß DIN 616 gebildet wird. Wenn die dafür erforderlichen Toleranzen nicht (wirtschaftlich) umgesetzt werden können, oder ein (fixer) größerer Kopf benötigt wird, dann braucht es eine entsprechende Aufgabenteilung:

CAD-Arbeitsplätze

Das Optimum ist nicht immer nur eine Frage der “sichtbaren” Kosten! Beispielsweise kann eine zu geringe Anzahl an CAD-Arbeitsplätzen frustbedingt sehr teuer werden.
Heutzutage dürfte es ohnehin üblich sein, dass jeder Konstrukteur einen ausreichend leistungsfähigen PC an seinem Arbeitsplatz hat, damit er die verwendete CAD-Software jederzeit adäquat nutzen kann. Anfang 1998, als alleine eine CAD-taugliche Grafikkarte noch ca. 80.000 öS kosten konnte, war dem nicht unbedingt so! Zwar war jedem Budget-Verantwortlichen und Manager auch schon damals klar, dass gar kein CAD-Arbeitsplatz nicht das Optimum darstellen konnte 😉 , aber dass gar ein jeder einen haben sollte, wohl auch nicht – und zwar bei weitem. Und so kann es schon vorkommen, dass sich 15 Konstrukteure 10 Plätze teilen müssen. Die dadurch erzwungene Vollauslastung mag die Verantwortlichen in Sicherheit gewogen haben. Da konnte man nichts falsch machen, denn “früher war es auch nicht anders”.
Statt als Betroffener “Dienst nach Vorschrift” zu machen, kann man natürlich auch versuchen, die Einschätzungen der Kollegen einzuholen und das ganze in Zahlen zu gießen.
Folgender Rechengang hat sich schließlich ergeben:

  • Die Gesamtkosten pro Jahr (KG) ergeben sich aus Kosten der Wartezeit pro Jahr (KW) und den Kosten für die CAD-Anlage pro Jahr (KC);
  • Die Kosten der Wartezeit pro Jahr (KW) ergeben sich als Produkt aus der Wartezeit ohne CAD pro Jahr (tWoC) und den Kosten eines Konstrukteurs pro Stunde (kK);
  • Die Wartezeit ohne CAD pro Jahr (tWoC) ergibt sich als Produkt aus einem Gesamtnutzungsgrad und der Zeit ohne CAD pro Jahr (toC);
  • Der Gesamtnutzungsgrad ergibt sich aus dem Nutzungsgrad ohne CAD bei Neuentwicklungen (NN) und dem Nutzungsgrad ohne CAD bei Tagesarbeit (NT) gewichtet durch den Anteil der Neuentwicklungen an der Jahresarbeitszeit (AN);
  • Die Zeit ohne CAD pro Jahr (toC) ergibt sich als Produkt aus der Jahresarbeitszeit (ta) und der Differenz der Anzahl der Konstrukteure (nK) und der CAD-Arbeitsplätze (nC);
  • Die Kosten der CAD-Anlage pro Jahr (KC) ergeben sich als Produkt aus der Anzahl der CAD-Arbeitsplätze (nC) und den Kosten eines CAD-Arbeitsplatzes pro Jahr (kC).

Die folgende Datei soll “nur” das Prinzip einer solchen Optimierung illustrieren. Sie kommt ohne Solver aus, wobei die Beantwortung mancher Fragestellung damit durchaus denkbar wäre, aber das überlasse ich Ihrer Fantasie:

Linie glätten 3

Wenn es um Kurvenverläufe geht, dann baue ich immer ein Gerüst, das gleichmäßig gerastert so fein wie nötig aber so grob wie möglich ist. Bei Optimierungen ist aber zufolge ständiger Veränderungen, insbesondere bei Verwendung des Solvers, nicht abzusehen, wo Stützpunkte gebraucht werden. Um Zwischenwerte und insbesondere Extrema in ausreichender Genauigkeit zu erhalten, kann man Werte der geglätteten Linie eines Punkt (XY)-Diagramms verwenden. Mittels Linie glätten konnte ich das umsetzen, ergänzt um Steigungen (primär für Extrema) durch Linie glätten 2.
Für den überwiegenden Bereich der geglätteten Linie ist dies durchaus praktikabel, aber die Segmente an beiden Enden präsentieren sich unbefriedigend! Dazu muss man wissen, dass der verwendete Catmull-Rom-Spline segmentweise immer 4 Punkte zu dessen Berechnung benötigt, wovon an diesen Enden einer fehlt. Die Excel-Entwickler bei Microsoft haben das sehr einfach gelöst, indem sie den jeweils vorletzten Punkt am letzten gespiegelt und damit den mathematisch unerlässlichen Hilfspunkt erzeugt haben. Dadurch ergibt sich am Endpunkt immer eine Tangente in Richtung des vorletzten Punktes, was wiederum ein Prinzip dieses Splines ist, dass der Vektor durch die beiden Nachbarpunkte die Tangentenrichtung vorgibt.
Eine bessere Wahl des Hilfspunkts könnte Abhilfe schaffen, wobei das Prinzip natürlich unangetastet bleiben soll. Eine Quadratische Bézierkurve bietet prinzipiell alles Wünschenswerte, mit dem Schönheitsfehler, dass von deren 3 bestimmenden Punkten einer nicht auf der Kurve liegt! Aber die Funktionsgleichung lässt sich so umformen, dass unser Kurvenpunkt jenen des Kontrollpolygons bestimmt. Dabei muss für die Beibehaltung obigen Tangentenprinzips der Parameter t = 0,5 gesetzt sein.
Der Schenkel des Kontrollpolygons zum Endpunkt ist dessen Tangente. Spiegelt man nun den vorletzten Punkt mittels Spiegelungsmatrix an der Tangentennormalen durch den Endpunkt, dann ergibt sich der Verlauf der geglätteten Linie deutlich verbessert, wobei das Prinzip der Tangentendefinition wiederum erfüllt ist!
Linie glätten und Linie glätten 2 wurden um diese Option ergänzt.
Die folgende Datei zeigt das erläuterte Prinzip durch 3 frei wählbare Punkte, was den Spieltrieb anstacheln sollte:

Linie glätten 3

PS: Sollte jemand eine bessere Lösung parat haben, dann bitte her damit! Vielleicht kann man sogar Microsofts Excel-Entwickler zur Implementierung animieren?!