Vollständiges elliptisches Integral I. Art

Obwohl mir der Begriff des Elliptischen Integrals seit Langem geläufig ist, drängte sich mir nie eine Anwendung dafür auf. Zum Teil wahrscheinlich deshalb, weil die Abhilfe zu deren Umgehung oftmals in Tabellenform vorliegt.

Als ich mich kürzlich intensiver mit der Hertz’schen Pressung beschäftigte, stolperte ich über eine nun als solche erkannte, schon des Öfteren benutzte Tabelle! Die vorliegenden Zahlenwerte in ein eigenes Tabellenblatt zu tippen und mittels SVERWEIS zu interpolieren, wäre die althergebrachte Vorgehensweise mit existenten Excel-Methoden gewesen.
Alternativ zeigt die 3. Formel der angeführten Reihenentwicklungen auf THE WOLFRAM FUNCTIONS SITE: \[ K(z) = \frac \pi 2 \sum_{k = 0}^\infty \frac {\left( \frac 1 2 \right)_k \left( \frac 1 2 \right)_k z^k}{k!^2} \]
Der darin doppelt vorkommende indizierte Klammerausdruck ist das bereits veröffentlichte Pochhammer-Symbol.
Da eine Konvergenz nur für \( |z|<1 \) gegeben ist, braucht es für \( z<-1 \) noch die Identität \( K(z<-1) = \frac 1 {\sqrt {1-z}} K \left( \frac z {z-1} \right) \), als zweite von 7 angebotenen auf THE WOLFRAM FUNCTIONS SITE.
Um eine annehmbare Genauigkeit zu erhalten, müssen ausreichend viele Glieder aufsummiert werden, wobei Fakultäten – insbesondere potenziert – dem allzu schnell ein Ende setzen können. Es bietet sich hier also an, den Quotienten \( \frac {\left( \frac 1 2 \right)_k}{k!} \) zu quadrieren, was mit \( \left( \frac 1 2 \right)_k = \frac {(2k – 1)!}{2^{2k-1} (k-1)!} \) zu \( \frac {\Gamma \left[ \frac 1 2 +k \right]}{\sqrt \pi \Gamma \left[ 1+k \right]} \) führt. \( \Gamma \) steht dabei für die Gamma-Funktion, die Excel anbietet, weswegen einer Formel nichts mehr im Wege steht. Als Besonderheiten müssen noch folgende speziellen Werte berücksichtigt werden: \( K(1) = \infty \) , \( K(0) = \frac \pi 2 \) und \( K(-1) = \frac {\Gamma \left( \frac 1 4 \right)^2}{4 \sqrt {2 \pi}} \).

Damit die Formel alle Glieder aufsummiert, muss sie als Matrixformel (Arrayformel) eingegeben werden. Die Begrenzung der Gliederanzahl kommt dabei von der größtmöglichen positiven Zahl in Excel, weswegen die Gamma-Funktion keine größere ganze Zahl als 171 zulässt.
Die Formel zeigt deutliche Abweichungen in der Nähe von 1, weil dort die Gliederanzahl nicht mehr auslangt, und hat den Nachteil, dass sie nicht mehrere \( z \) gleichzeitig bedienen kann, weil die Matrixfähigkeit schon für die Gliedersummierung verbraucht wurde!

Das alles kann mittels der Benutzerdefnierten Funktion K_z(z) erfüllt werden, wobei z eine einzelne Zahl, eine Matrix-Konstante, eine einzelne Zelle oder ein einzeiliger oder einspaltiger Zellbereich sein darf. Nicht mehr die Anzahl der Glieder ist schlagend, sondern die geforderte Genauigkeit, fixiert auf die 15 signifikanten Stellen in Excel, bei deren Erreichen abgebrochen wird. Die Restriktion der Gamma-Funktion kann umgangen werden, weil in einer Schleife nicht jedes Glied gänzlich neu berechnet werden muss. Auch noch Rechenzeit sparend, ist ein neues Glied das vorhergehende multipliziert mit deren Quotienten.

Die nachfolgenden Datei enthält alles obig Beschriebene nachvollziehbar, wobei der Vergleich mit Werten aus Mathematica gezogen wird:

Bemerkung: Wegen der Funktion GAMMA nicht als 97-2003-Version.

Pochhammer-Symbol

Für mich als “bloßen” Maschinenbauer hält die Mathematik naturgemäß noch immer Rätsel bereit, so auch kürzlich mit dem Ausdruck \( (a)_n \). Mittels Google fand sich schließlich das bis dato noch nie gebrauchte und mir somit gänzlich unbekannte Pochhammer-Symbol. Darauf gestoßen bin ich auf der Suche nach Reihen-Formeln für elliptische Integrale.

Excel bietet diesbezüglich keine eigene Funktion an, weswegen eine Umsetzung mit anderen, vorhandenen Funktionen nötig war. Da sich eine ausführliche Systematik des Symbols auch bei Wolfram Research findet, stand dem nichts mehr im Wege.
Die Parameter \( a \) und \( n \) schreien zumindest für mich förmlich nach einer Matrixformel, die beide gleichzeitig bedienen kann. Leider verweigerte mir die vorhandene Funktion PRODUKT(Zahl1; [Zahl2]; …) dies, da Zahl1 dazu ein Bereich hätte sein müssen, welcher aber bestimmungsgemäß ausmultipliziert wird. Blieb also “nur” die “abgespeckte” Form des Spaltenvektors, wobei auch die Formel in einer einzelnen Zelle als Matrixformel eingegeben werden muss, damit die einzelnen Faktoren für das Produkt erzeugt werden! Das “Umstricken” einer umgekehrten Anordnung sollte für den geübten “Excelianer” kein Problem darstellen.
Für die “Vollversion” musste ich also VBA bemühen und eine Benutzerdefinierte Funktion POCHHAMMER(a;n) programmieren. \( a \) darf dabei eine einzelne Zahl, eine Matrix-Konstante, eine einzelne Zelle oder ein einzeiliger oder einspaltiger Zellbereich sein. Gleiches gilt für \( n \), wobei hier sinnvollerweise ganze Zahlen erwartet würden. Die FOR-Schleife sorgt bei Nichterfüllung aber ohnehin dafür. Die umgekehrte Anordnung kann einfach mit MTRANS(POCHHAMMER(a;n)) bewerkstelligt werden.

Die folgende Datei enthält die Tabellenblätter Formel und UDF, um Obiges nachvollziehbar zu machen. Formel enthält in Spalte C Einzelformeln, der Rest sind Matrixformeln, eine einzige findet sich in UDF:

Bereich invers durchlaufen

In VBA verwendet man zum Durchlaufen von Aufzählungen (z. B. Workbooks, Worksheets,…) gewöhnlich die For Each…Next-Anweisung.
Will man dies in umgekehrter Reihenfolge tun, dann geht das mittels For *.Count To 1 Step -1…Next, wenn für die jeweilige Aufzählung die Eigenschaft Count vorliegt und auf die einzelnen Elemente per Index zugegriffen werden kann.
Ein Zellbereich bietet das mit Cells.Count zwar auch an, aber die Items beziehen sich nicht direkt auf den gesamten Bereich, sondern zuerst auf Areas, die sich schließlich auf den Bereich selbst beziehen. Da ein Bereich aus mehreren Areas bestehen kann, müssen also diese und die darin enthaltenen Items abgearbeitet werden.

Die Lösung sind 2 verschachtelte, invers laufende “For…Next”-Schleifen, die Areas und Cells abarbeiten und einer Collection übergeben. Anstatt der Aufzählung könnte auch ein temporärer Name mit den Bezügen gefüttert werden, was aber einen Eingriff im Tabellenblatt oder in der Arbeitsmappe bedeuten würde.

Die Benutzerdefinierte Funktion RANGEINVERSION(Bereich) erwartet einen Bereich, der sich aus einer Selektion, einem Namen oder aus VBA-Code heraus ergeben kann.
Das Tabellenblatt RANGEINVERSION der folgenden Arbeitsmappe bietet dazu einen Test mittels des Namens Testrange an:

Linie glätten 5

Wie in Linie glätten 4 versprochen, folgt nun das – im Vergleich zu 2 Polynomen 3. und 4. Grades – deutlich einfachere und trotzdem funktionierende Prinzip zur Bestimmung einer Tangente mit den beiden Nachbarpunkten.

Gegeben seien ein Anfangspunkt A, ein Mittenpunkt M und ein Endpunkt E, durch die eine geglättete Kurve verlaufen soll.
Gesucht ist die Tangente im Punkt M, die jener der von mir favorisierten Straklatte am nächsten kommt.
Tangentenvektor \( \vec m \) als Linearkombination der normierten Vektoren \( \vec a = \vec {AM} \) und \( \vec e = \vec {ME} \): \( \vec m = p \cdot \frac {\vec a}{\vert \vec a \vert} + \frac 1p \cdot \frac {\vec e}{\vert \vec e \vert} \)
Gewichtungsfaktor \( p \) ist dabei eine Potenz mit dem Quotienten der Vektorenbeträge als Basis und einem Gewichtungsexponenten \( q \) als Exponent: \( p = \left ( \frac { \vert \vec e \vert }{ \vert \vec a \vert } \right ) ^q = \left ( \frac { \vert \vec e \vert ^2 }{ \vert \vec a \vert ^2 } \right ) ^{q/2} \)
Der Tangentenwinkel \( \varphi \) ergibt sich zu: \[ \varphi = \arctan \frac {m_y}{m_x} = \arctan \frac {\left ( \vert \vec e \vert ^2 \right ) ^{0{,}5+q} a_y + \left ( \vert \vec a \vert ^2 \right ) ^{0{,}5+q} e_y}{\left ( \vert \vec e \vert ^2 \right ) ^{0{,}5+q} a_x + \left ( \vert \vec a \vert ^2 \right ) ^{0{,}5+q} e_x} \]
Damit lässt sich mit \( – \infty \le q \le + \infty \) der Tangentenwinkel \( \varphi \) beliebig zwischen den beiden Vektoren \( \vec a \) und \( \vec e \) einstellen.
Die Microsoft’sche Methode ergibt sich somit beim Gewichtungsexponenten \( q = -0{,}5 \).

Das Tabellenblatt Gewichtung dient der Bestimmung des Gewichtungsexponenten \( q \):

  • 5 unterschiedlichen Gewichtungsexponenten \( q \) lassen sich in Zelle B8 aktivieren, um die Vektoraddition \( \vec a_p + \vec e_p \) und den Verlauf der Segmente 1 und 2 im Diagramm zu veranschaulichen.
  • Wie in einem Falle von Linie glätten 4 liegen ja auch hier 2 Polynome 3. Grades vor. Um für den dortigen Fall mit A(-1;1), M(0;0) und E(1;2) den gleichen Tangentenwinkel zu erhalten, bräuchte es \( q=0{,}722557… \), was mit einer Abweichung von nur 2,2% “verdächtig” nahe an \( \frac {1}{\sqrt{2}} = 0{,}707106… \) liegt!
  • Der Kehrwert des Goldenen Schnittes mit \( \frac {\sqrt {5} – 1}{2} = 0{,}618033… \) wäre mir übrigens auch sehr willkommen gewesen. 😉

Im Tabellenblatt Spline werden an 4 Segmenten folgende Effekte demonstriert:

  • Tangentenlänge \( l \): Die Länge der Tangenten der 5 Punkte
  • Anzahl der Zwischenpunkte \( n \): Nach dem Grundsatz “So wenig wie möglich, so viel wie nötig” braucht es hierfür noch einen variablen Ansatz. Da der Gradient der Steigung im Allgemeinen an den Punkten größer ist, wurde die Verteilung der Punkte sinusförmig gewählt.
  • Spannung \( c \): In die einzelne Kurve eines kubisch hermiteschen Splines integriert, lässt sich damit der Verlauf zwischen den Punkten steuern: \( f(t) = (1 + 2 t) (1 – t)^2 p_1 + t^2 (3 – 2 t) p_2 + c t (1 – t) \left [ (1 – t) m_1 – t m_2 \right ] \). Standard sei 1, 0 führt zu einem Polygonzug und negative Werte rufen eine Schleifenbildung hervor.
  • Gewichtungsexponent \( q \): Mein Favorit ist \( \frac {1}{\sqrt{2}} \), Microsoft würde \( -0{,}5 \) verwenden.
  • Methode: “Geyer” ist der Versuch einer Verbesserung der Option “Linie glätten”, “Microsoft” ist der aktuelle Standard.
  • Verzerrung: “Unzulässig” bewirkt gleiche Achsen-Skalierungen durch die automatisierte Wahl geeigneter Achsen-Grenzen, “Zulässig” überlässt diese Wahl Excel.

Die folgende Datei enthält die beiden obig beschriebenen Tabellenblätter zum spielerischen Nachvollziehen meines Ansatzes:

VERGLEICH mit Sortierung

Die Funktion VERGLEICH hatte ich schon des Öfteren problemlos benutzt, als ein damaliger Kollege um meinen Rat ersuchte, weil augenscheinlich vorhandene Werte einer Liste damit nicht gefunden wurden.
Das genaue Studium der Hilfe offenbarte, dass wir beide offensichtlich bis dahin den optionalen Vergleichstyp nicht einmal ignoriert hatten!
Für mich hatte das deswegen keine Konsequenzen, weil meine Suchen immer in aufsteigend sortierten Matrizen stattfanden. Er aber suchte nach den genau übereinstimmenden Werten, was ohne Angabe von Vergleichstyp=0 nur zufällig funktionieren konnte.

Vor kurzem wurde ich von einem ehemaligen Kollegen konsultiert, der in einer umfangreichen Auswertung wiederum mit VERGLEICH arbeitete und Vergleichstyp nicht angegeben hatte. Bezüglich seiner Fragestellung spielte das schlussendlich nur eine vernachlässigbare Rolle.
Aber es ergab sich für mich die Frage, warum VERGLEICH die Sortierung nicht gleich selbst “intern” erledigt, wenn man den Vergleichstyp als “1 oder nicht angegeben” oder “-1” festlegt. Da ohnehin “nur” die relative Position des gefunden Wertes in der Suchmatrix ausgegeben wird, bräuchte es dazu doch keine “externe” Sortierung?!

Mit dem vor kurzem veröffentlichten Quicksort drängt sich diese Lösung nun fast auf. Und so entstand nun die Benutzerdefinierte Funktion MATCH2(Suchkriterium;Suchmatrix;[Vergleichstyp]), die sich völlig identisch wie VERGLEICH verhält, aber gegebenenfalls eine interne Sortierung vornimmt. In gewohnter Manier ist auch MATCH2 für Matrixformeln (Arrayformeln) konzipiert!
Im Sinne einer kompakten Lösung wurden die Function MATCH2 als auch die Subroutine QUICKSORT4MATCH2 in einem Modul basMATCH2 untergebracht.
Die folgende Datei demonstriert die zusätzlichen Fähigkeiten von MATCH2: