Ellipse approximiert durch Korbbogen

Im Beitrag Kerbformoptimierung mit Ellipse wird also die Ellipse als mögliche vorteilhafte Kerbform untersucht.
Skizzierer gängiger CAD-Systeme bieten heutzutage die Möglichkeit, vielfältige Kurven als parametrisierte Funktionen einzugeben. Damit wären also auch der im Beitrag von mir erwähnte Kosinus hyperbolicus, wahrscheinlich mit der Entsprechung \( \cosh = \frac { e^x + e^{ -x } }{ 2 } \), die Zykloide und selbst die Klothoide mittels Reihenentwicklung möglich. Das gilt gleichermaßen für die Traktrix und die von Professor Mattheck angeführten Kerbformen.

Nach dem Grundsatz “So wenig wie möglich, so viel wie nötig” mag aber auch eine Näherung gute Dienste leisten, wobei ich an den Korbbogen mit zwei Radien denke, wodurch gilt: \( R = \frac { a^2 + b^2 -2 a r }{ 2 \left( b – r \right) } \). Sollten zwei nicht reichen, dann sind zwar drei in der Architektur üblich und mehr davon denkbar, aber nicht ratsam. Entweder passt der Ansatz nicht oder man handelt sich einen unbeherrschbaren Sketcher ein!

Im Buch Maschinenelemente (H. Roloff, W. Matek, 7. Auflage, 1976), das ich noch aus HTBLA-Zeiten mein Eigen nenne und nutze, findet sich zum Kapitel Achsen, Wellen und Zapfen im Unterkapitel Allgemeine Gestaltungsrichtlinien folgende Empfehlung: Festigkeitsmäßig sehr günstig, konstruktiv jedoch nicht immer ausführbar, ist der Übergang mit zwei Rundungsradien, einem Korbbogen: \( r \approx d / 20 \), \( R \approx d / 5 \).
Das entspricht also einem fixen Verhältnis \( R / r \approx 4 \), was \( a = \frac { 2 }{ 7 } \left( 2 + 3 \sqrt { 2 } \right) b \approx 1{,}7836 \cdot b \) ergibt.

Sollen sich \( R \) und \( r \) den Halbachsen \( a \) und \( b \) variabel anpassen, dann könnten folgende Kriterien zielführend sein:

  • Gleicher Flächeninhalt
  • Gleicher Umfang
  • Gleiche Abweichung der Scheitelkrümmungsradien

Man kann die Halbachsen allerdings auch bloß als verfügbaren Raum sehen. Dann lässt sich für das Verhältnis \( r / R \) ein Maximum finden, wodurch gilt: \( r = \frac{a^2 + b^2 – \left( a – b \right) \sqrt{ a^2 + b^2 } }{ 2 a } \) und \( R = \frac{a^2 + b^2 + \left( a – b \right) \sqrt{ a^2 + b^2 } }{ 2 b } \). Ein deutlich größeres \( r \) als der Hauptscheitelkrümmungsradius bei nur geringfügig kleinerem \( R \) im Vergleich zum Nebenscheitelkrümmungsradius könnte vorteilhaft sein.

Für den Umfang der Ellipse kann man Näherungen verwenden, hier kam aber das Vollständige elliptische Integral II. Art als Benutzerdefinierte Funktion zur Anwendung. Überdies brauchte es wegen der transzendenten Gleichungen für Werte des Korbbogens die Zielwertsuche.
Die folgende Excel-App berechnet die angegeben Fälle automatisch bei sich ändernden Halbachsen. Fürs Spielen gibt es einen eigenen User-Fall. Die Ergebnisse werden in einem Diagramm unverzerrt dargestellt, wobei man mit den veränderbaren Zwischenpunkten nicht zu sparsam umgehen sollte:

Kerbformoptimierung mit Ellipse

Während der Beschäftigung mit der Kerbformoptimierung mit Zugdreiecksmethode fand ich auch das im Jahre 2008 vom Karlsruher Institut für Technologie (KIT) herausgegebene Poster Die Methode der Zugdreiecke im Vergleich mit anderen Kerbformen.
Einer der Autoren ist Professor Claus Mattheck, und so nimmt es nicht wunder, dass die drei Kerbformen 45°-Kreissegment, Zugdreieck und Tangens, deren Quellen seinen Namen tragen, auch einen Dreifach-Sieg einfahren!

Die erste seiner Kerbformen hat es schon im Namen, bei der Methode der Zugdreiecke ist es anempfohlen und der Steigungswinkel des Tangens bei 0° (gar ein Grund für diese Kerbform?) ist – nämlich 45°. Der Effekt des scharfen Anschlusses wird euphemistisch “kleine Spannungsspitze” genannt, der tatsächlich größere Bauraum durch einen fertigungsbedingten Radius unter den Teppich gekehrt. Bei Einhaltung des gleichen Bauraums ergeben sich also zwingend größere Spannungsüberhöhungen als angegeben! Da hilft dem 45°-Kreissegment der vermeintliche Vorteil des geringen \( L_{ax} / L_{rad} = 2{,}4 \) auch nichts mehr.

Warum auch immer der Tangens einer Untersuchung unterzogen wurde, für mich wären Kosinus hyperbolicus als Kettenlinie, gespitzte Zykloide wegen enthaltener Brachistochrone und Klothoide mit Proportionalität von Krümmung zur Bogenlänge jedenfalls naheliegender gewesen.
Bei den Kerbformen mit tangentialem Anschluss gefällt mir deswegen die Traktroide, weil auch sie “natürlich wirkt”. Richtigerweise müsste es Traktrix heißen (die Bemaßung der dargestellten Zuglasche suggeriert einen Rotationskörper, was sie aber nicht ist).
Zu R. V. Baud und P. Grodzinski sei angemerkt, dass ihre Kerbformen eingedenk des Alters und obig angemerkter Beschönigungen nach wie vor konkurrenzfähig sind, obzwar erstere mit \( L_{ax} / L_{rad} = 5{,}0 \) zu kämpfen hat!
\( L_{ax} / L_{rad} \) sollte bei gegebenem \( L_{rad} / d \) optimalerweise möglichst klein sein, weswegen die Angabe eines einzigen Wertes für alle drei Fälle im Gesamtverhältnis \( 1:10 \) fragwürdig erscheint.

Dies hat sich im Zuge der Beschäftigung mit der Ellipse auch bewahrheitet:

  • Die dargestellten Spannungsüberhöhungen von ca. \( 4{,}1 \), \( 3{,}1 \) und \( 1{,}8 \) bei \( L_{rad} / d = 0{,}027 \), \( 0{,}054 \) und \( 0{,}27 \) des (Viertel-)Kreises – als Sonderfall einer Ellipse – sind eindeutig jene des Ebenen Spannungszustands (ESZ).
  • Die Spannungsüberhöhungen des (Viertel-)Kreises für Axialsymmetrie (AS) ergeben sich nämlich zu etwa \( 3{,}3 \), \( 2{,}5 \) und \( 1{,}5 \).
  • Die Ellipse zeigt bei \( L_{rad} / d = 0{,}027 \), \( 0{,}054 \) und \( 0{,}27 \) für \( L_{ax} / L_{rad} \) Optima für ESZ bei ungefähr \( 1{,}9 \), \( 2{,}3 \) und \( 5{,}6 \) und für AS bei rund \( 1{,}8 \), \( 2{,}4 \) und \( 27 \).
  • \( L_{ax} / L_{rad} = 3{,}4 \) ist also nur optimal für ein \( L_{rad} / d \) von ca. \( 0{,}16 \) (ESZ) bzw. \( 0{,}14 \) (AS).
  • Bis zu diesen \( L_{rad} / d \) kommt die Ellipse bei optimal gewähltem \( L_{ax} / L_{rad} \) jedenfalls mit Baud und Traktrix aufs Podest!
  • Über diesen \( L_{rad} / d \) triumphiert die Traktrix wegen ihres geringen \( L_{ax} / L_{rad} \), mit Baud kann bei ESZ noch mitgehalten werden, bei AS geht der Anschluss schnell verloren.
  • 45°-Kreissegment, Zugdreieck und Tangens werden wegen Dopings und Praxisuntauglichkeit disqualifiziert.
  • Und selbst die passendste Ellipse ließe sich durch einen klassischen Korbbogen zumindest gleichwertig ersetzen!

Die folgende Datei zeigt obige Zusammenhänge nicht nur punktuell, sondern durchgehend von \( L_{rad} / d = 0{,}027 \) bis \( 0{,}27 \) bei Zug/Druckbelastung für ESZ und AS:

Scherenhubtisch Typ 3

Wie schon in den Beiträgen Scherenhubtisch Typ 1 und Scherenhubtisch Typ 2 möchte ich hier nochmals jedem das Buch Auslegung von Maschinenelementen von Stephan Regele ans Herz legen! Von den mitgelieferten Excel-Berechnungstools zu allen Kapiteln sollte jeder angetan sein. 😉

Auch bei Typ 3 soll wiederum eine relevante Reduktion der Zylinderkraft angestrebt werden, ohne die Konstruktion groß umzukrempeln. Gerechterweise sei angemerkt, das man nicht davon ausgehen kann, in den präsentierten Beispielen bereits Optimierungen anzutreffen! Aber als Ziel für eine preiswerte Herstellung und einen günstigen Betrieb darf es gelten.

Hat der komplex erscheinende Typ 3 das größte Optimierungspotenzial aller Typen?
Die Berechnung der Zylinderkraft kann man dem Buch entnehmen. Sind die Gelenkkräfte nicht von Interesse, dann liegt das Prinzip der virtuellen Verschiebungen näher. Normalerweise sprechen Reibungskräfte dagegen, sind sie aber, wie in diesem Fall, recht einfach zu eruieren, dann ist es oftmals der direktere Weg. Wenn man aus dem sich gemäß Buch ergebenden Gleichungssystem die Gelenkkräfte eliminiert, dann muss sich jedenfalls auch folgender Ausdruck ergeben:

\[ F_Z = -F \left[ a + b \pm \mu \tan \alpha \left( \left| b – a + c \sqrt { 1 + \tan ^2 \alpha } \right| + \vert c \vert \sqrt { 1 + \tan ^2 \alpha } \right) \right] \cdot \]
\[ \frac { \sqrt { \left[ e – g + \left( b + d – f \right) \tan \alpha \right] ^2 + \left[ b – d – f + \left( e + g \right) \tan \alpha \right] ^2 } } { 2 \left[ \left( b – f \right) e – d g + 2 \left( \left( b – f \right) d + e g \right) \tan \alpha – \left( \left( b – f \right) e – d g \right) \tan ^2 \alpha \right] } \]
mit \( \tan \alpha = \frac{ 1 } { \sqrt { \left( \frac{ a + b } { H } \right) ^2 – 1 } } \)

Ein Druckzylinder weist eine negative, ein Zugzylinder eine positive Zylinderkraft auf.
Je nachdem, ob angehoben oder abgesenkt wird, braucht es unterschiedliche Vorzeichen vor der Reibzahl \( \mu \), was mittels eines Schalters zufolge des gewählten Modus “Heben” oder “Senken” erreicht wird.
Die Beträge sind nötig, damit sich die Wirkungsrichtung der Reibungskräfte nicht umkehrt.
Der Makro für den Solver wird mittels Befehlsschaltfläche >>> Solver <<< gestartet, wobei folgendes gilt:

  • Es wird die betragsmäßig kleinste Zylinderkraft \( F_Z \) gesucht
  • Variable Parameter dafür sind \( a \), \( b \), \( c \), \( d \), \( e \), \( f \) und \( g \)
  • Diese werden nur variiert, wenn Unter- oder/und Obergrenze (Min, Max) vorliegt/vorliegen
  • Minimale oder/und maximale Zylinderlänge kann/können ebenfalls vorgegeben werden
  • Für die Abstände der Punkte S und Z zu den Grenzen A-D und B-C wurden eigene Nebenbedingungen geschaffen
  • Die Abstände \( a \) und \( c \) tendieren gegen 0, also gegebenenfalls Min > 0 setzen
  • Die Abstände \( d \), \( e \), \( f \) und \( g \) nicht allzu sehr einschränken, damit der Solver sie optimal kombinieren kann

Die folgende Datei enthält überdies zwei Diagramme, wobei die Geometrie unverzerrt dargestellt wird. Ein Makro erweckt sie mittels Befehlsschaltfläche >>> Animation <<< zum Leben und weckt hoffentlich auch Ihren Spieltrieb:

Scherenhubtisch Typ 2

Wie schon im Beitrag Scherenhubtisch Typ 1 möchte ich auch hier das Buch Auslegung von Maschinenelementen von Stephan Regele wärmstens empfehlen! Die mitgelieferten Excel-Berechnungstools zu allen Kapiteln haben es mir besonders angetan. 😉

Bei Typ 2 soll wiederum eine relevante Reduktion der Zylinderkraft angestrebt werden, ohne die Konstruktion groß umzukrempeln. Gerechterweise sei angemerkt, das man nicht davon ausgehen kann, in den präsentierten Beispielen bereits Optimierungen anzutreffen! Aber als Ziel für eine preiswerte Herstellung und einen günstigen Betrieb darf es gelten.

Der komplexere Typ 2 sollte ein größeres Optimierungspotenzial haben als Typ 1.
Die Berechnung der Zylinderkraft kann man dem Buch entnehmen. Sind die Gelenkkräfte nicht von Interesse, dann liegt das Prinzip der virtuellen Verschiebungen näher. Normalerweise sprechen Reibungskräfte dagegen, sind sie aber, wie in diesem Fall, relativ einfach zu eruieren, dann ist es oftmals der direktere Weg. Wenn man aus dem sich gemäß Buch ergebenden Gleichungssystem die Gelenkkräfte eliminiert, dann muss sich jedenfalls auch folgender Ausdruck ergeben:

\[ F_Z = -F \frac { a + b \pm \mu \tan \alpha \left( \left| b – a + c \sqrt { 1 + \tan ^2 \alpha } \right| + \vert c \vert \sqrt { 1 + \tan ^2 \alpha } \right) } { \frac { \mu \left( b + d \right) \tan \alpha \left( \tan \alpha + \tan \gamma \right) + e \left( 1 – \tan \alpha \tan \gamma \right) } { \sqrt { 1 + \tan ^2 \gamma } } + \frac { \left[ \left( \left( b + d \right) \tan \alpha + e \right) x_S – \left( b + d – e \tan \alpha \right) y_S \right] \sqrt { 1 + \tan ^2 \alpha } } { \sqrt { \left( b + d – e \tan \alpha – x_S \sqrt { 1 + \tan ^2 \alpha} \right) ^2 + \left( \left( b + d \right) \tan \alpha +e – y_S \sqrt { 1 + \tan ^2 \alpha} \right) ^2 } } } \]
mit \( \tan \alpha = \frac{ 1 } { \sqrt { \left( \frac{ a + b } { H } \right) ^2 – 1 } } \) und \( \tan \gamma = \frac { \left( b + d \right) \tan \alpha + e – y_S \sqrt { 1 + \tan ^2 \alpha } } { x_S \sqrt { 1 + \tan ^2 \alpha } – b – d + e \tan \alpha } \)

Ein Druckzylinder weist eine negative, ein Zugzylinder eine positive Zylinderkraft auf.
Je nachdem, ob angehoben oder abgesenkt wird, braucht es unterschiedliche Vorzeichen vor der Reibzahl \( \mu \), was mittels eines Schalters zufolge des gewählten Modus “Heben” oder “Senken” erreicht wird.
Die Beträge sind nötig, damit sich die Wirkungsrichtung der Reibungskräfte nicht umkehrt.
Der Makro für den Solver wird mittels Befehlsschaltfläche >>> Solver <<< gestartet, wobei folgendes gilt:

  • Es wird die betragsmäßig kleinste Zylinderkraft \( F_Z \) gesucht
  • Variable Parameter dafür sind \( a \), \( b \), \( c \), \( d \), \( e \), \( x_S \) und \( y_S \)
  • Diese werden nur variiert, wenn Unter- oder/und Obergrenze (Min, Max) vorliegt/vorliegen
  • Minimale oder/und maximale Zylinderlänge kann/können ebenfalls vorgegeben werden
  • Für die Abstände des Punktes Z zu den Grenzen A-D und B-C wurden eigene Nebenbedingungen geschaffen
  • Die Abstände \( a \) und \( c \) tendieren gegen 0, also gegebenenfalls Min > 0 setzen
  • Die Abstände \( d \) und \( e \) nicht allzu sehr einschränken, damit der Solver sie optimal kombinieren kann

Die folgende Datei enthält überdies zwei Diagramme, wobei die Geometrie unverzerrt dargestellt wird. Ein Makro erweckt sie mittels Befehlsschaltfläche >>> Animation <<< zum Leben und weckt hoffentlich auch Ihren Spieltrieb:

Scherenhubtisch Typ 1

Das Buch Auslegung von Maschinenelementen von Stephan Regele kann ich wärmstens empfehlen! Gemäß meiner Neigung auch wegen der mitgelieferten Excel-Berechnungstools zu allen Kapiteln. Dabei ist mir jenes der Scherenhubtische besonders aufgefallen, weil es Potenzial für Optimierungen bietet und sich somit der Solver geradezu aufdrängt. 😉

Versuche mit den Typen 2 und 3 haben gezeigt, dass eine erhebliche Reduktion der Zylinderkraft möglich wäre, ohne die Konstruktion groß umzukrempeln. Gerechterweise sei angemerkt, das man nicht davon ausgehen kann, in den präsentierten Beispielen bereits Optimierungen anzutreffen! Aber als Ziel für eine preiswerte Herstellung und einen günstigen Betrieb darf es gelten.

Selbst der einfach erscheinende Typ 1 bietet ein gewisses Optimierungspotenzial.
Die Berechnung der Zylinderkraft kann man dem Buch entnehmen. Sind die Gelenkkräfte nicht von Interesse, dann liegt das Prinzip der virtuellen Verschiebungen näher. Normalerweise sprechen Reibungskräfte dagegen, sind sie aber, wie in diesem Fall, einfach zu eruieren, dann ist es oftmals der direktere Weg. Wenn man aus dem sich gemäß Buch ergebenden Gleichungssystem die Gelenkkräfte eliminiert, dann muss sich jedenfalls auch folgender Ausdruck ergeben:

\[ F_Z = -F \frac { \left[ \frac { \left( a + b \right) ^2 \sqrt { 1 – \left( \frac { h } { a + b } \right) ^2 } } { h } \pm \mu \left( \left| b – a + \frac { c } { \sqrt { 1 – \left( \frac { h } { a + b } \right) ^2 } } \right| + \frac { \vert c \vert } { \sqrt { 1 – \left( \frac { h } { a + b } \right) ^2 } } \right) \right] \sqrt { \left( x_F – 2 b \sqrt { 1 – \left( \frac { h } { a + b } \right) ^2 } \right) ^2 + y_F ^2 } } { 2 b \left( x_F – 2 b \sqrt { 1 – \left( \frac { h } { a + b } \right) ^2 } \mp \mu y_F \right) } \]

Ein Druckzylinder weist eine negative, ein Zugzylinder eine positive Zylinderkraft auf.
Je nachdem, ob angehoben oder abgesenkt wird, braucht es unterschiedliche Vorzeichen vor der Reibzahl \( \mu \), was mittels eines Schalters zufolge des gewählten Modus “Heben” oder “Senken” erreicht wird.
Die Beträge sind nötig, damit sich die Wirkungsrichtung der Reibungskräfte nicht umkehrt.
Der Makro für den Solver wird mittel Befehlsschaltfläche >>> Solver <<< gestartet, wobei folgendes gilt:

  • Es wird die betragsmäßig kleinste Zylinderkraft \( F_Z \) gesucht
  • Variable Parameter dafür sind \( a \), \( b \), \( c \), \( x_F \) und \( y_F \)
  • Diese werden nur variiert, wenn Unter- oder/und Obergrenze (Min, Max) vorliegt/vorliegen
  • Minimale oder/und maximale Zylinderlänge kann/können ebenfalls vorgegeben werden
  • Die Abstände \( a \) und \( c \) tendieren gegen 0, also gegebenenfalls Min > 0 setzen

Die folgende Datei enthält überdies zwei Diagramme, wobei die Geometrie unverzerrt dargestellt wird. Ein Makro erweckt sie mittels Befehlsschaltfläche >>> Animation <<< zum Leben und befeuert hoffentlich auch Ihren Spieltrieb:


Versionstabelle

Scherenhubtisch Typ 1

05. Dez 2019 – 1.10: Wirkungsrichtung der Reibungskräfte sichergestellt
26. Nov 2019 – 1.01: Animation um Zeitsteuerung und gesicherte Endlagen in VBA-Code ergänzt
21. Nov 2019 – 1.00: Erstausgabe