Korbbögen gemäß Wikipedia

In Ellipse approximiert durch Korbbogen habe ich verschiedene Ansätze für einen Korbbogen mit 2 Radien bzw. 3 Mittelpunkten verfolgt. In Wikipedia fand ich unter Konstruktionsdetails dazu Konstruktionsvorschriften auch für ansteigende Ausführungen.
Mit dem Sketcher heutiger CAD-Programme kann man das natürlich problemlos nachvollziehen. Eine mögliche Abkürzung ist, die Radien als Parameter zu definieren.
Zu diesem Zwecke habe ich die Formeln der Radien für folgende Arten abgeleitet:

  • Korbbogen aus drei Mittelpunkten (Tabellenblatt M3):
    Ich war angenehm überrascht, hier meinen 4. Ansatz aus Ellipse approximiert durch Korbbogen anzutreffen, denn wenn man in den dortigen Formeln \( a \) durch \( \frac{ S }{ 2 } \) und \( b \) durch \( H \) ersetzt, dann ergeben sich \( r = \frac{ \left( \frac S 2 \right)^2 + H^2 – \left[ \left( \frac S 2 \right) – H \right] \sqrt{ \left( \frac S 2 \right)^2 + H^2 } }{ S } \) und \( R = \frac{ \left( \frac S 2 \right)^2 + H^2 + \left[ \left( \frac S 2 \right) – H \right] \sqrt{ \left( \frac S 2 \right)^2 + H^2 } }{ 2 H } \)!
  • Korbbogen aus fünf Mittelpunkten (Tabellenblatt M5):
    Diese einfach erscheinende Konstruktion hat mich trotz Sketcher überfordert, bis mir klar wurde, dass es sich um eine Näherung handelt, was den Mittelpunkt \( M_4 \) bzw. \( M_5 \) anbetrifft. Dank Herrn Colling enthalten die Konstruktionsdetails der Grafik mittlerweile einen entsprechenden Hinweis. Laut Darstellung wäre \( y_{M_{4,5}} = – \frac L 2 = \frac 1 { \sqrt{ 2 } } \left( H – \frac S 2 \right) \), was streng genommen nur beim Sonderfall eines Halbkreises zutrifft, sonst aber relativ kleine Abweichungen aufweist, die man mit Zirkel und Bleistift wohl nicht aufdeckte. Exakt ist \( y_{M_{4,5}} = \frac 3 4 \left( H – \frac S 2 \right) \), was wegen des Vorliegens von \( \frac S 2 – H \) über ähnliche Dreiecke leicht eruiert werden kann! Der im Tabellenblatt eingefügte Screenshot des Sketches dieser Konstruktion kann mit einem Klick darauf vergrößert und wieder zurückgesetzt werden. Die Radien ergeben sich zu \( r_K = \sqrt{ 2 } H – \left( \sqrt{ 2 } – 1 \right) \frac S 2 \), \( r_M = \frac{ 2 \sqrt{ 2 } H + \left( 4 – \sqrt{ 2 } \right) S } 8 \) und \( r_G = \sqrt{ 2 } S – \left( 2 \sqrt{ 2 } -1 \right) H \).
  • Korbbogen; einhüftig (Tabellenblatt A):
    Diese ansteigende Ausführung ist mein Favorit, da sie harmonisch ganz einfach wie ein schräg gestellter Korbbogen wirkt! Überdies kann \( H \) beliebig gewählt werden. Die Radien folgen zu \( r = \frac{ S^2 + H^2 – H \sqrt{ S^2 + H^2 } }{ 2 S } \) und \( R = \frac{ S^2 + H^2 + H \sqrt{ S^2 + H^2 } }{ 2 S } \).
  • Steigender Bogen (Tabellenblatt B):
    Braucht weniger Höhe als mein Favorit, wirkt deswegen in meinen Augen aber auch etwas “eckiger”, wobei \( H \le S \) gilt. Die beiden Radien ergeben sich einfach als \( r = \frac{ S – H } 2 \) und \( R = \frac{ S + H } 2 \).
  • Einhüftiger Korbbogen (Tabellenblatt C):
    \( H \) ist hier nicht beliebig wählbar, sondern eine Funktion von \( S \): \( H = \frac{ 3 + 4 \sqrt{ 2 } }{ 23 } S \). Dann ergeben sich die 4 Radien zu \( r_1 = \frac{ 8 + 3 \sqrt{ 2 } }{ 46 } S \), \( r_2 = \frac{ 18 + \sqrt{ 2 } }{ 46 } S \), \( r_3 = \frac{ 28 – \sqrt{ 2 } }{ 46 } S \) und \( r_4 = \frac{ 38 – 3 \sqrt{ 2 } }{ 46 } S \).
  • Schwanenhals (Tabellenblatt D):
    Eine aufwendige Konstruktion samt stark eingeschränktem Verhältnis \( \frac H S \), innerhalb dessen diese gefällig aussieht, sehe ich als nachteilig. Für die obendrein unpassenden Kurvenenden im Diagramm kann sie nichts, denn das liegt an der Microsoft’schen Herangehensweise, wie ich in Linie glätten 3 mit Alternativvorschlag kritisiert habe!

Die obig erwähnten Tabellenblätter sind in einer Datei zusammengefasst, wobei man in 3M und 5M als User spielen kann.
5M bietet hier eine Besonderheit, da zusätzlich folgende Ansätze zur Auswahl stehen:

  • \( Min \left( r_M / r_K \right)\ \&\ r_M / r_K = r_G / r_M \): Möglichst kleine Radienänderungen
  • \( \alpha_K = \alpha_M = \alpha_G \): Gleiche Winkel
  • \( Min(s_K)\ \&\ s_K = s_M = s_G \): Gleiche Bogenlängen
  • \( Min(t)\ \&\ r_M / r_K = r_G / r_M \): Kürzeste Laufzeit bei möglichst kleinen Radienänderungen (quasi eine auf den Kopf gestellte Brachistochrone)
  • \( Min(t) \): Kürzeste Laufzeit
Korbbogen aus fünf Mittelpunkten (Tabellenblatt M5)