Geyer’sche Korbbögen

Als Maschinenbauer war mir der Korbbogen vor allem als vorteilhafter Übergang an Absätzen bekannt, weswegen ich in Kerbformoptimierung mit Zugdreiecksmethode darauf verwies. Danach folgte die im Vergleich zum Korbbogen leichter handhabbare Kerbformoptimierung mit Ellipse mit der Konsequenz Ellipse approximiert durch Korbbogen, um zum Ausgangspunkt zurückzukehren. Schließlich landete ich sogar in der Architektur mit Korbbögen gemäß Wikipedia.
Eingeschränkte und für mein Empfinden teils unschöne Lösungen, fehlerbehaftete Näherungskonstruktionen und das Fehlen von plausiblen Lösungen für mehr als 5 Mittelpunkte haben mich veranlasst, nach einem mathematischen Standard zu suchen. Und was sollte bei mir anderes dabei herauskommen als eine Lösung mittels Excel und insbesondere Solver?!

Waagrechter Korbbogen
Der Mischung aus Halbkreis- und Segmentbogen sieht man die Ähnlichkeit zur Ellipse förmlich an! Eine möglichst “runde” Annäherung daran sollte das Ziel sein.
Für 3 und 5 Mittelpunkte finden sich z. B. in Wikipedia Konstruktionsdetails, wobei der von mir entdeckte Fehler bei 5 Mittelpunkten mittlerweile vermerkt ist.
Otto Luegers Lexikon der gesamten Technik und ihrer Hilfswissenschaften zeigt auch eine Konstruktion für mehr als 5 Mittelpunkte, die aber nur im Sonderfall stimmt.

Geneigter Korbbogen
Auch hier soll zumindest für mich eine Ellipse das Ideal sein, selbst wenn ich während meiner umfangreichen Recherche keinen Hinweis darauf fand!
Unter den theoretisch unendlich vielen Ellipsen gibt es genau eine, die ein maximales Verhältnis aus kleiner zu großer Halbachse aufweist, quasi am “rundesten” ist.
Um diese zu finden, wird das Verhältnis \( v = \frac b a \) eingeführt, was die übliche Ellipsengleichung \( y = b \sqrt{ 1 – \left( \frac x a \right) ^2 } \) auf die Form \( y = v \sqrt{ a ^2 – x ^2 } \) bringt.
Der Satz des Pythagoras liefert mit Steigung \( H \) und Spannweite \( S \) den unbekannten Ellipsendurchmesser \( d = \sqrt{ S ^2 + H ^2 } \). Dieser ergibt sich auch zu \( d = 2 \sqrt{ x ^2 +y ^2} = 2 \sqrt{ x ^2 + v ^2 \left( a ^2 – x ^2 \right) } \), woraus durch Gleichsetzung \( x \) gewonnen werden kann.
Der Tangens des Verdrehwinkels der Ellipse zur Waagrechten ist \( \tan \alpha = \frac H S \), wobei die Winkelsumme eines Dreiecks mit Steigungswinkel \( \beta \) und Durchmesserwinkel \( \gamma \) \( \alpha = \frac \pi 2 – \left( \beta + \gamma \right) \) festlegt.
Aus deren Tangens \( \tan \beta = \frac { 2 v x }{ \sqrt{ a ^2 – x ^2 } } \) und \( \tan \gamma = \frac { v \sqrt{ a ^2 – x ^2 } }{ x } \) mit ersetztem \( x \) folgt mittels Summensatz schließlich das Verhältnis \( v_{ \left( a \right) } = \frac{ S \sqrt{ 4 a ^2 – H ^2 – S ^2 } }{ 2 a \sqrt{ 4 a ^2 – S ^2 } } \) als Funktion von \( a \) mit \( a > \frac{ \sqrt{ H ^2 + S ^2 } }{ 2 } \).
Eine der 4 Nullstellen der Ableitung liefert das gesuchte Extremum der großen Halbachse \( a = \sqrt{ H ^2 + S ^2 + H \sqrt{ H ^2 + S ^2} } \). Für die kleine Halbachse folgt \( b = \frac S { 2 \sqrt{ 1+ \frac H { \sqrt{ S ^2 + H ^2 } } } } \) und für den Verdrehwinkel \( \alpha = \arctan \left( \frac{ H + \sqrt{ S ^2 + H ^2 } } S \right) \).

Rechengang:

  • Beim waagrechten Korbbogen wird “nur” eine Hälfte berechnet
  • Das Verhältnis aufeinander folgender Radien ist gleich
  • Für dieses Verhältnis wird vom Solver das Minimum eruiert
  • Das Verhältnis aufeinander folgender Mittelpunktswinkel ist dabei ebenso gleich
  • Beim waagrechten Korbbogen mit 3 und dem geneigten mit 2 Mittelpunkten werden die optimalen Werte vorgegeben

Ergebnisse:

  • Radienverhältnis
  • Große und kleine Halbachse und Drehwinkel der Ellipse
  • Bogenlänge und Fläche (bis zur Kämpferlinie)
  • Koordinaten des Gipfel- und Scheitelpunkts (bei geneigtem Korbbogen)
  • Normalabstand des Scheitelpunkts zur Kämpferlinie (bei geneigtem Korbbogen)
  • Radien
  • Mittelpunktswinkel und daraus Gesamtwinkel
  • Koordinaten der Mittel- und Übergangspunkte

Diagramm:

  • Ellipse (Idealisierung)
  • Astroide (Evolute der Ellipse als Summe aller Krümmungsmittelpunkte)
  • Mittelpunkte (deren Lage zur Astroide zeugt von Qualität der Näherung an Ellipse)
  • Punkte (Radienübergänge)
  • Kreisbögen
  • Gipfel- und Scheitelpunkt (bei geneigtem Korbbogen)

Die folgende Datei erlaubt die Berechnung eines waagrechten Korbbogens mit bis zu 11 und eines geneigten mit bis zu 6 Mittelpunkten. Wer allerdings den Rekord des Pont de Neuilly sprengen will, kann die Berechnung gerne erweitern! 😉
Ohne direkte oder indirekte Vorschrift für die Mittelpunktswinkel geht es übrigens nicht, da der Solver – so ein Schlingel aber auch! – zur Erreichung eines besseren Optimums Segmente eliminiert, indem er deren Mittelpunktswinkel gegen Null fährt.
Ein alternativer Ansatz gleicher Bogenlängen führt übrigens zu größeren Radienverhältnissen – für andere Ansätze bin ich jederzeit offen!
Für die Berechnung der Fläche bedurfte es der Benutzerdefinierten Funktion INDEX2 und fürs gefällige Diagramm Punkt (XY)-Diagramm unverzerrt.
Bei Änderung von Typ, Mittelpunkte, Spannweite oder Stichhöhe bzw. Steigung springt automatisch der Solver an, um das Optimum zu finden: