Kerbformoptimierung

Ich weiß nicht mehr, wie ich auf das Buch “Warum alles kaputt geht” von Professor Claus Mattheck gestoßen bin. Vielleicht habe ich wieder einmal nach meinem Steckenpferd “Bionik” gegoogelt. Jedenfalls gesellte es sich zu jenen von Professor Werner Nachtigall:

  • Vorbild Natur: Bionik-Design für funktionelles Gestalten
  • Bionik: Grundlagen und Beispiele für Ingenieure und Naturwissenschaftler
  • Das große Buch der Bionik: Neue Technologien nach dem Vorbild der Natur
  • Natur macht erfinderisch: Das große Buch der Bionik

Weitestgehend auf Mathematik verzichtend handeln die Seiten 98 bis 103 von einer möglichst kerbfreien Schulter eines abgesetzten Bauteils, das auf Zug beansprucht ist.
Im Formelanhang auf Seite 186 findet sich dafür unter dem Titel “Formoptimierung” folgende detailliertere Skizze:

Quelle: “Warum alles kaputt geht”, mit freundlicher Genehmigung von Professor Claus Mattheck

Die nächste Seite präsentiert dazu schließlich folgende Formeln: \[ \begin{array}{lcr}
& \Delta F_T = – \Delta F_Q & (1) \\
& F_T^i – F_T^{i + 1} = F_Q^{i + 1} – F_Q^i & \\
& F_T^{i + 1} = F_0 \frac {D_0} {D_{i + 1}} \cos \left( \sum_{k = 0}^i \alpha_k \right) & (2) \\
& F_T^i = F_0 \frac {D_0} {D_i} \cos \left( \sum_{k = 0}^{i – 1} \alpha_k \right) & (3) \\
& F_Q^{i + 1} = 2 F_T^{i + 1} \sin \left( \frac {\alpha_{i + 1}} 2 \right) & (4) \\
& F_Q^i = 2 F_T^i \sin \left( \frac {\alpha_i} 2 \right) & (5) \\
\text{mit} & D_{i + 1}=D_i + 2 s \sin \left( \sum_{k=0}^i \alpha_k \right) & \text{folgt aus (1) – (5):} \\
& \alpha_{i+1} = 2 \arcsin \left\{ \frac {\frac {D_{i+1}}{D_i} \cos \left( \sum_{k = 0}^{i-1} \alpha_k \right) \left[ 1 + 2 \sin \left( \frac {\alpha_i} 2 \right) \right] – \cos \left( \sum_{k = 0}^i \alpha_k \right)}{2 \cos \left( \sum_{k = 0}^i \alpha_k \right)} \right\} & (6)
\end{array} \]

Als einstmaliger Konstrukteur kam es mir so vor, als wollte man den klassischen Korbbogen in praxisuntauglicher Form akademisch neu erfinden. Als Berechnungsingenieur interessierte mich der Ansatz durchaus, weswegen ich ihn eingehender studierte.
Die Verhältnisse \( \frac {D_0}{D_{i + 1}} \) und \( \frac {D_0}{D_i} \) in den Gleichungen \( (2) \) und \( (3) \) sind eigentlich die Flächenverhältnisse mit herausgekürzter Dicke bei Zug- oder Druckspannung.
Zur allgemeinen Anwendung werden \( \left( \frac {D_0}{D_i} \right)^{k_W} \) und \( \left( \frac {D_0}{D_{i + 1}} \right) ^{k_W} \) als Widerstandsverhältnisse eingeführt, mit:
\( \bullet\ k_W = 1 \) für Zug und Druck eines ebenen Querschnitts der Breite \( D \)
\( \bullet\ k_W = 2 \) für die Biegung eines ebenen Querschnitts der Breite \( D \)
\( \bullet\ k_W = 3 \) für die Biegung und Torsion eines Kreisquerschnitts mit Durchmesser \( D \)
Damit ergibt sich eine universellere Formel für den lokalen Knickwinkel:
\[ \alpha_{i+1} = 2 \arcsin \left\{ \frac { \left( \frac {D_{i+1}}{D_i} \right)^{k_W} \cos \left( \sum_{k = 0}^{i-1} \alpha_k \right) \left[ 1 + 2 \sin \left( \frac {\alpha_i} 2 \right) \right]}{2 \cos \left( \sum_{k = 0}^i \alpha_k \right)} – \frac 1 2 \right\} \]

Daraus entstand eine App mit folgenden Eigenschaften:
Vorwahl der Spannungsart Zug/Druck, Biegung: Ebener QS, Biegung: Runder QS oder Torsion, Festlegung einer Segmentanzahl von 1 bis 10 und die Vorgabe eines Anfangsquerschnitts.
Mittels des Solvers werden Segmentlänge und Anfangswinkel derart variiert, dass etwaige Minima und Maxima derselben aber auch jene eines Abbruchwinkels und der Länge und Höhe der Kerbe eingehalten werden. Dabei wird immer versucht, die Höhe voll auszunützen. Die Koordinaten der sich ergebenden Spline-Punkte können sodann im CAD verwendet werden:

Geyer-Punkte

Mein Nachname in Geyer-Punkte soll nur den Kontext zu den Bessel-Punkten herstellen, denen ich bereits einen Beitrag gewidmet habe. Die genialen Herren Friedrich Wilhelm Bessel und George Biddell Airy sind jene Riesen, auf deren Schultern ich dabei stehe!
Die speziellen Punkte lassen sich auf einem 2-fach gelagerten und somit statisch bestimmten Balken allesamt analytisch explizit bestimmen. Aber mit bloß 2 Auflagern dürfte man bei längeren Balken kein Auslangen mehr finden. Bei 3 Auflagern könnte es für einen der Fälle noch eine exakte Lösung geben, darüber hinaus dürfte man aber auf verlorenem Posten sein. Also braucht es einen universellen Ansatz!
Hier kommt der in Excel integrierte Solver ins Spiel. Mit ihm lassen sich die Auflagerkoordinaten solange variieren, bis sich die gewünschten Randbedingungen in vorgegebener Genauigkeit einstellen.
Bei 2 Auflagern ergeben sich folgende Lösungen:

  • Drehmomentenfreie Lagerung (horizontale Tangente an den Auflagern, minimale mittlere Durchbiegung und somit minimale Verzerrungsenergie; bei mehr als 2 Auflagern ergeben sich deswegen gleichzeitig die kleinstmöglichen maximalen Biegemomente an allen Auflagern, die doppelt so groß sind als jene dazwischen)
  • Airy-Punkte (horizontale Tangente an den Enden)
  • Normative Festlegung (gleiche Durchbiegung an den Enden und in der Mitte)
  • Geringste maximale Randfaserspannung (gleicher Biegemomentbetrag an den Lagern und in der Mitte)

Bei mehr als 2 Auflagern offerieren sich die Airy-Punkte in 2 Varianten, und für die entfallende geringste maximale Randfaserspannung kommen gleiche Auflagerkräfte hinzu:

  • 2 mögliche Airy-Punkte: Horizontale Tangente an den Enden und
    – gleiche Durchbiegung in den Mitten oder
    – horizontale Tangenten an den inneren Auflagern
  • Gleiche Auflagerkräfte

Alle nicht unbedingt auf dem Tabellenblatt ersichtlich sein müssenden Berechnungen wurden per Namen in den Hintergrund verbannt. Für die Definition von Vektoren und Matrizen wurde wiederum ein “very hidden” Tabellenblatt “X” und INDEX in Bezugsversion benutzt. Den Rechengang möchte ich nicht detailliert beschreiben, nur so viel:

  • Die Berechnung der Auflagerkräfte fußt auf der Lösung eines Gleichungssystems
  • Zur Bestimmung von Polynom-Nullstellen dient die benutzerdefinierte Funktion POLYNOMIAL1TO4ZERO
  • Die benutzerdefinierten Funktion INDEX2 wird vor allem für Namen gebraucht, die zufolge eines Vektors mehrere Werte an Diagramme übergeben können müssen
  • Die Arrayformel für x(y”’ = 0) musste mittels eines Tricks zur Aktualisierung gezwungen werden, nämlich der Addition einer mit 0 multiplizierten volatilen Funktion: 0*HEUTE()
  • Die Lösung mittels Solver erfolgt via Befehlsschaltfläche, der der Makro “Optimierung” zugeordnet ist

Es wäre interessant zu erfahren, welche Anwendungen durch meine Berechnung abgedeckt werden können! Deswegen stelle ich vorerst eine Variante für maximal 5 Auflager zum Download bereit. Wer will und kann, möge sich die Datei selbst erweitern, alle anderen sind aufgerufen, mich hinsichtlich ihrer Anforderungen gerne zu kontaktieren:

Versionstabelle

Bolzen-Verdrehsicherung

Sind Bolzen höher belastet oder/und schmierbar ausgelegt, dürfen sie sich im Allgemeinen nicht verdrehen. Einerseits sollen die Schmierbohrungen nicht im Pressungsbereich zu liegen kommen, andererseits darf die Kerbwirkung dieser Bohrungen nicht in die höchstbelasteten Randfasern gelangen. In der Praxis finden sich, abgesehen vom klassischen Achshalter, die unterschiedlichsten Lösungen, oftmals mit Schweißungen und Bohrungen, die nachteilig für die (Dauer-)Festigkeit sind. Viele Ausführungen könnten als quasi Werknormen betrachtet werden, denen man die Vorlieben und Möglichkeiten früherer (eigener) Fertigungsmöglichkeiten ansieht! Die vorgeschlagene Ausführung der Bolzen-Verdrehsicherung geht – angenähert durch einfache Kreisbögen – vom Prinzip der geschlossenen Epizykloide und Hypozykloide (Hypotrochoide) aus. Deren Verwandte in Form des Innensechsrunds (Torx) und der Polygonprofile sind bekannt. Es liegt also ein mehrfacher Formschluss vor, der gedrungen bleiben kann und somit wenig Zerspanungsvolumen nach sich zieht, wobei obig erwähnte Schweißungen und Bohrungen samt deren Nachteilen entfallen. Die Ausführungsmöglichkeiten wurden bereits umfangreich mittels Excel (Optimierung via Solver) und CAD beleuchtet. Dies und Prinzip-Skizzen samt mathematischer Herleitungen können zur Findung einer bestmöglichen Ausführung zur Verfügung gestellt werden.

Obiges ist die Beschreibung eines am 18.01.2017 ans ASI übermittelten Projektantrags, dem folgendes Schicksal beschieden war:
“Das Komitee 029 hat in seiner 629. Sitzung, am 21. Juni 2017 folgendes bzgl. Ihres Projektantrages beschlossen: Da dieses Normprojekt derzeit keine Marktrelevanz aufweist und sich auch keine weiteren Stakeholder für eine Beteiligung an der Mitwirkung eines derartigen Normprojektes während der Einspruchsphase gemeldet haben, ist das Komitee 029 der Meinung, dieses Vorhaben nicht zu starten. Es wird daher einstimmig beschlossen, den Projektantrag nicht in das Arbeitsprogramm aufzunehmen und daraus folgend kein Normprojekt zu starten.”

Da die “Beschreibung, was sein würde, wenn die Norm/ONR nicht er- oder überarbeitet wird” lautet: “Dann würde ich meine Erkenntnisse als bereits vorliegende Excel-Berechnungen auf meiner privaten Homepage www.excelution.at präsentieren.”, biete ich für Interessenten 2 Downloads an:

Die Excel-Datei enthält, ausgehend von der einst selbst entwickelten singulären Parabel, die mehrfachen Zykloiden und deren Vereinfachungen, wobei der Sonderfall als “einfachste” Form auch für die optimierte Auslegung zur Verfügung steht:

Die STEP-Baugruppen-Datei beinhaltet dazu alle 5 Varianten, wie sie in der Excel-Datei optimiert wurden. Die Ausführung ist dabei die – zumindest für mich – denkbar einfachste, da die Verdrehsicherung zugleich die Aufgabe der Lagerung übernimmt (Dicke t muss entsprechend erhöht werden) und der Kopf durch einen Sprengring nach DIN 5417 für Wälzlager gemäß DIN 616 gebildet wird. Wenn die dafür erforderlichen Toleranzen nicht (wirtschaftlich) umgesetzt werden können, oder ein (fixer) größerer Kopf benötigt wird, dann braucht es eine entsprechende Aufgabenteilung:

Klappmechanismus

Man stelle sich ein Gerät vor, das zum Zwecke des Straßentransports auf eine zulässige Breite gebracht werden muss, was durch 180°-Klappung der äußeren Segmente erfüllt wird.
Veränderungen an einem vorgegebenen Serienstand führen zum überraschenden Klapp-Versagen, weil dessen Reserven bis dahin offensichtlich unbekannt sind!
Nach Überprüfung des sich als ausreichend herausstellenden Hydraulikdrucks mag der 1. Reflex der Ruf nach einem “stärkeren” Zylinder sein. Da größere Kolben im Allgemeinen alles andere auch mitwachsen lassen, außer man kreiert einen absoluten Sonderling, ist ein bloßer Austausch zufolge unterschiedlicher Laschen- und Bolzenabmessungen und vor allem gleicher Einbaulänge und ursprünglichem Hub praktisch unmöglich.
Stellt sich also die Frage nach dem Optimum aus Aufwand zufolge Änderungen und Nutzen eines reduzierten Druckbedarfs!

Optimierung

Das Tabellenblatt enthält bereits alle 4 Varianten (Serie & Var. 1 bis 3), die mittels Zellendropdown zur Anzeige gebracht werden können.
Ja nach Variante wurden die Parameter “a” bis “i” und “Δl” mittels Solver variiert, um den erforderlichen Druck zu minimieren. Von 0° bis 180° finden sich nicht nur die geometrischen Abmessungen, sondern auch die Kräfte, welche in einem Diagramm angezeigt werden.

Klappmechanismus-Optimierung

Druckbedarf

Der erforderliche maximale Druck fällt von ursprünglich 85,8 (Serie) über 82,7 (Var. 1: -3,6%) und 77,0 (Var. 2: -10%) auf schließlich 58,0 bar (Var. 3: -33%).
Klappmechanismus-Druck

Animation

Diese zeigt aufeinander folgend alle Varianten.