Ellipse approximiert durch Korbbogen

Im Beitrag Kerbformoptimierung mit Ellipse wird also die Ellipse als mögliche vorteilhafte Kerbform untersucht.
Skizzierer gängiger CAD-Systeme bieten heutzutage die Möglichkeit, vielfältige Kurven als parametrisierte Funktionen einzugeben. Damit wären also auch der im Beitrag von mir erwähnte Kosinus hyperbolicus, wahrscheinlich mit der Entsprechung \( \cosh = \frac { e^x + e^{ -x } }{ 2 } \), die Zykloide und selbst die Klothoide mittels Reihenentwicklung möglich. Das gilt gleichermaßen für die Traktrix und die von Professor Mattheck angeführten Kerbformen.

Nach dem Grundsatz “So wenig wie möglich, so viel wie nötig” mag aber auch eine Näherung gute Dienste leisten, wobei ich an den Korbbogen mit zwei Radien denke, wodurch gilt: \( R = \frac { a^2 + b^2 -2 a r }{ 2 \left( b – r \right) } \). Sollten zwei nicht reichen, dann sind zwar drei in der Architektur üblich und mehr davon denkbar, aber nicht ratsam. Entweder passt der Ansatz nicht oder man handelt sich einen unbeherrschbaren Sketcher ein!

Im Buch Maschinenelemente (H. Roloff, W. Matek, 7. Auflage, 1976), das ich noch aus HTBLA-Zeiten mein Eigen nenne und nutze, findet sich zum Kapitel Achsen, Wellen und Zapfen im Unterkapitel Allgemeine Gestaltungsrichtlinien folgende Empfehlung: Festigkeitsmäßig sehr günstig, konstruktiv jedoch nicht immer ausführbar, ist der Übergang mit zwei Rundungsradien, einem Korbbogen: \( r \approx d / 20 \), \( R \approx d / 5 \).
Das entspricht also einem fixen Verhältnis \( R / r \approx 4 \), was \( a = \frac { 2 }{ 7 } \left( 2 + 3 \sqrt { 2 } \right) b \approx 1{,}7836 \cdot b \) ergibt.

Sollen sich \( R \) und \( r \) den Halbachsen \( a \) und \( b \) variabel anpassen, dann könnten folgende Kriterien zielführend sein:

  • Gleicher Flächeninhalt
  • Gleicher Umfang
  • Gleiche Abweichung der Scheitelkrümmungsradien

Man kann die Halbachsen allerdings auch bloß als verfügbaren Raum sehen. Dann lässt sich für das Verhältnis \( r / R \) ein Maximum finden, wodurch gilt: \( r = \frac{a^2 + b^2 – \left( a – b \right) \sqrt{ a^2 + b^2 } }{ 2 a } \) und \( R = \frac{a^2 + b^2 + \left( a – b \right) \sqrt{ a^2 + b^2 } }{ 2 b } \). Ein deutlich größeres \( r \) als der Hauptscheitelkrümmungsradius bei nur geringfügig kleinerem \( R \) im Vergleich zum Nebenscheitelkrümmungsradius könnte vorteilhaft sein.

Für den Umfang der Ellipse kann man Näherungen verwenden, hier kam aber das Vollständige elliptische Integral II. Art als Benutzerdefinierte Funktion zur Anwendung. Überdies brauchte es wegen der transzendenten Gleichungen für Werte des Korbbogens die Zielwertsuche.
Die folgende Excel-App berechnet die angegeben Fälle automatisch bei sich ändernden Halbachsen. Fürs Spielen gibt es einen eigenen User-Fall. Die Ergebnisse werden in einem Diagramm unverzerrt dargestellt, wobei man mit den veränderbaren Zwischenpunkten nicht zu sparsam umgehen sollte:

Kerbformoptimierung mit Ellipse

Während der Beschäftigung mit der Kerbformoptimierung mit Zugdreiecksmethode fand ich auch das im Jahre 2008 vom Karlsruher Institut für Technologie (KIT) herausgegebene Poster Die Methode der Zugdreiecke im Vergleich mit anderen Kerbformen.
Einer der Autoren ist Professor Claus Mattheck, und so nimmt es nicht wunder, dass die drei Kerbformen 45°-Kreissegment, Zugdreieck und Tangens, deren Quellen seinen Namen tragen, auch einen Dreifach-Sieg einfahren!

Die erste seiner Kerbformen hat es schon im Namen, bei der Methode der Zugdreiecke ist es anempfohlen und der Steigungswinkel des Tangens bei 0° (gar ein Grund für diese Kerbform?) ist – nämlich 45°. Der Effekt des scharfen Anschlusses wird euphemistisch “kleine Spannungsspitze” genannt, der tatsächlich größere Bauraum durch einen fertigungsbedingten Radius unter den Teppich gekehrt. Bei Einhaltung des gleichen Bauraums ergeben sich also zwingend größere Spannungsüberhöhungen als angegeben! Da hilft dem 45°-Kreissegment der vermeintliche Vorteil des geringen \( L_{ax} / L_{rad} = 2{,}4 \) auch nichts mehr.

Warum auch immer der Tangens einer Untersuchung unterzogen wurde, für mich wären Kosinus hyperbolicus als Kettenlinie, gespitzte Zykloide wegen enthaltener Brachistochrone und Klothoide mit Proportionalität von Krümmung zur Bogenlänge jedenfalls naheliegender gewesen.
Bei den Kerbformen mit tangentialem Anschluss gefällt mir deswegen die Traktroide, weil auch sie “natürlich wirkt”. Richtigerweise müsste es Traktrix heißen (die Bemaßung der dargestellten Zuglasche suggeriert einen Rotationskörper, was sie aber nicht ist).
Zu R. V. Baud und P. Grodzinski sei angemerkt, dass ihre Kerbformen eingedenk des Alters und obig angemerkter Beschönigungen nach wie vor konkurrenzfähig sind, obzwar erstere mit \( L_{ax} / L_{rad} = 5{,}0 \) zu kämpfen hat!
\( L_{ax} / L_{rad} \) sollte bei gegebenem \( L_{rad} / d \) optimalerweise möglichst klein sein, weswegen die Angabe eines einzigen Wertes für alle drei Fälle im Gesamtverhältnis \( 1:10 \) fragwürdig erscheint.

Dies hat sich im Zuge der Beschäftigung mit der Ellipse auch bewahrheitet:

  • Die dargestellten Spannungsüberhöhungen von ca. \( 4{,}1 \), \( 3{,}1 \) und \( 1{,}8 \) bei \( L_{rad} / d = 0{,}027 \), \( 0{,}054 \) und \( 0{,}27 \) des (Viertel-)Kreises – als Sonderfall einer Ellipse – sind eindeutig jene des Ebenen Spannungszustands (ESZ).
  • Die Spannungsüberhöhungen des (Viertel-)Kreises für Axialsymmetrie (AS) ergeben sich nämlich zu etwa \( 3{,}3 \), \( 2{,}5 \) und \( 1{,}5 \).
  • Die Ellipse zeigt bei \( L_{rad} / d = 0{,}027 \), \( 0{,}054 \) und \( 0{,}27 \) für \( L_{ax} / L_{rad} \) Optima für ESZ bei ungefähr \( 1{,}9 \), \( 2{,}3 \) und \( 5{,}6 \) und für AS bei rund \( 1{,}8 \), \( 2{,}4 \) und \( 27 \).
  • \( L_{ax} / L_{rad} = 3{,}4 \) ist also nur optimal für ein \( L_{rad} / d \) von ca. \( 0{,}16 \) (ESZ) bzw. \( 0{,}14 \) (AS).
  • Bis zu diesen \( L_{rad} / d \) kommt die Ellipse bei optimal gewähltem \( L_{ax} / L_{rad} \) jedenfalls mit Baud und Traktrix aufs Podest!
  • Über diesen \( L_{rad} / d \) triumphiert die Traktrix wegen ihres geringen \( L_{ax} / L_{rad} \), mit Baud kann bei ESZ noch mitgehalten werden, bei AS geht der Anschluss schnell verloren.
  • 45°-Kreissegment, Zugdreieck und Tangens werden wegen Dopings und Praxisuntauglichkeit disqualifiziert.
  • Und selbst die passendste Ellipse ließe sich durch einen klassischen Korbbogen zumindest gleichwertig ersetzen!

Die folgende Datei zeigt obige Zusammenhänge nicht nur punktuell, sondern durchgehend von \( L_{rad} / d = 0{,}027 \) bis \( 0{,}27 \) bei Zug/Druckbelastung für ESZ und AS:

Scherenhubtisch Typ 3

Wie schon in den Beiträgen Scherenhubtisch Typ 1 und Scherenhubtisch Typ 2 möchte ich hier nochmals jedem das Buch Auslegung von Maschinenelementen von Stephan Regele ans Herz legen! Von den mitgelieferten Excel-Berechnungstools zu allen Kapiteln sollte jeder angetan sein. 😉

Auch bei Typ 3 soll wiederum eine relevante Reduktion der Zylinderkraft angestrebt werden, ohne die Konstruktion groß umzukrempeln. Gerechterweise sei angemerkt, das man nicht davon ausgehen kann, in den präsentierten Beispielen bereits Optimierungen anzutreffen! Aber als Ziel für eine preiswerte Herstellung und einen günstigen Betrieb darf es gelten.

Hat der komplex erscheinende Typ 3 das größte Optimierungspotenzial aller Typen?
Die Berechnung der Zylinderkraft kann man dem Buch entnehmen. Sind die Gelenkkräfte nicht von Interesse, dann liegt das Prinzip der virtuellen Verschiebungen näher. Normalerweise sprechen Reibungskräfte dagegen, sind sie aber, wie in diesem Fall, recht einfach zu eruieren, dann ist es oftmals der direktere Weg. Wenn man aus dem sich gemäß Buch ergebenden Gleichungssystem die Gelenkkräfte eliminiert, dann muss sich jedenfalls auch folgender Ausdruck ergeben:

\[ F_Z = -F \left[ a + b \pm \mu \tan \alpha \left( \left| b – a + c \sqrt { 1 + \tan ^2 \alpha } \right| + \vert c \vert \sqrt { 1 + \tan ^2 \alpha } \right) \right] \cdot \]
\[ \frac { \sqrt { \left[ e – g + \left( b + d – f \right) \tan \alpha \right] ^2 + \left[ b – d – f + \left( e + g \right) \tan \alpha \right] ^2 } } { 2 \left[ \left( b – f \right) e – d g + 2 \left( \left( b – f \right) d + e g \right) \tan \alpha – \left( \left( b – f \right) e – d g \right) \tan ^2 \alpha \right] } \]
mit \( \tan \alpha = \frac{ 1 } { \sqrt { \left( \frac{ a + b } { H } \right) ^2 – 1 } } \)

Ein Druckzylinder weist eine negative, ein Zugzylinder eine positive Zylinderkraft auf.
Je nachdem, ob angehoben oder abgesenkt wird, braucht es unterschiedliche Vorzeichen vor der Reibzahl \( \mu \), was mittels eines Schalters zufolge des gewählten Modus “Heben” oder “Senken” erreicht wird.
Die Beträge sind nötig, damit sich die Wirkungsrichtung der Reibungskräfte nicht umkehrt.
Der Makro für den Solver wird mittels Befehlsschaltfläche >>> Solver <<< gestartet, wobei folgendes gilt:

  • Es wird die betragsmäßig kleinste Zylinderkraft \( F_Z \) gesucht
  • Variable Parameter dafür sind \( a \), \( b \), \( c \), \( d \), \( e \), \( f \) und \( g \)
  • Diese werden nur variiert, wenn Unter- oder/und Obergrenze (Min, Max) vorliegt/vorliegen
  • Minimale oder/und maximale Zylinderlänge kann/können ebenfalls vorgegeben werden
  • Für die Abstände der Punkte S und Z zu den Grenzen A-D und B-C wurden eigene Nebenbedingungen geschaffen
  • Die Abstände \( a \) und \( c \) tendieren gegen 0, also gegebenenfalls Min > 0 setzen
  • Die Abstände \( d \), \( e \), \( f \) und \( g \) nicht allzu sehr einschränken, damit der Solver sie optimal kombinieren kann

Die folgende Datei enthält überdies zwei Diagramme, wobei die Geometrie unverzerrt dargestellt wird. Ein Makro erweckt sie mittels Befehlsschaltfläche >>> Animation <<< zum Leben und weckt hoffentlich auch Ihren Spieltrieb:

Scherenhubtisch Typ 2

Wie schon im Beitrag Scherenhubtisch Typ 1 möchte ich auch hier das Buch Auslegung von Maschinenelementen von Stephan Regele wärmstens empfehlen! Die mitgelieferten Excel-Berechnungstools zu allen Kapiteln haben es mir besonders angetan. 😉

Bei Typ 2 soll wiederum eine relevante Reduktion der Zylinderkraft angestrebt werden, ohne die Konstruktion groß umzukrempeln. Gerechterweise sei angemerkt, das man nicht davon ausgehen kann, in den präsentierten Beispielen bereits Optimierungen anzutreffen! Aber als Ziel für eine preiswerte Herstellung und einen günstigen Betrieb darf es gelten.

Der komplexere Typ 2 sollte ein größeres Optimierungspotenzial haben als Typ 1.
Die Berechnung der Zylinderkraft kann man dem Buch entnehmen. Sind die Gelenkkräfte nicht von Interesse, dann liegt das Prinzip der virtuellen Verschiebungen näher. Normalerweise sprechen Reibungskräfte dagegen, sind sie aber, wie in diesem Fall, relativ einfach zu eruieren, dann ist es oftmals der direktere Weg. Wenn man aus dem sich gemäß Buch ergebenden Gleichungssystem die Gelenkkräfte eliminiert, dann muss sich jedenfalls auch folgender Ausdruck ergeben:

\[ F_Z = -F \frac { a + b \pm \mu \tan \alpha \left( \left| b – a + c \sqrt { 1 + \tan ^2 \alpha } \right| + \vert c \vert \sqrt { 1 + \tan ^2 \alpha } \right) } { \frac { \mu \left( b + d \right) \tan \alpha \left( \tan \alpha + \tan \gamma \right) + e \left( 1 – \tan \alpha \tan \gamma \right) } { \sqrt { 1 + \tan ^2 \gamma } } + \frac { \left[ \left( \left( b + d \right) \tan \alpha + e \right) x_S – \left( b + d – e \tan \alpha \right) y_S \right] \sqrt { 1 + \tan ^2 \alpha } } { \sqrt { \left( b + d – e \tan \alpha – x_S \sqrt { 1 + \tan ^2 \alpha} \right) ^2 + \left( \left( b + d \right) \tan \alpha +e – y_S \sqrt { 1 + \tan ^2 \alpha} \right) ^2 } } } \]
mit \( \tan \alpha = \frac{ 1 } { \sqrt { \left( \frac{ a + b } { H } \right) ^2 – 1 } } \) und \( \tan \gamma = \frac { \left( b + d \right) \tan \alpha + e – y_S \sqrt { 1 + \tan ^2 \alpha } } { x_S \sqrt { 1 + \tan ^2 \alpha } – b – d + e \tan \alpha } \)

Ein Druckzylinder weist eine negative, ein Zugzylinder eine positive Zylinderkraft auf.
Je nachdem, ob angehoben oder abgesenkt wird, braucht es unterschiedliche Vorzeichen vor der Reibzahl \( \mu \), was mittels eines Schalters zufolge des gewählten Modus “Heben” oder “Senken” erreicht wird.
Die Beträge sind nötig, damit sich die Wirkungsrichtung der Reibungskräfte nicht umkehrt.
Der Makro für den Solver wird mittels Befehlsschaltfläche >>> Solver <<< gestartet, wobei folgendes gilt:

  • Es wird die betragsmäßig kleinste Zylinderkraft \( F_Z \) gesucht
  • Variable Parameter dafür sind \( a \), \( b \), \( c \), \( d \), \( e \), \( x_S \) und \( y_S \)
  • Diese werden nur variiert, wenn Unter- oder/und Obergrenze (Min, Max) vorliegt/vorliegen
  • Minimale oder/und maximale Zylinderlänge kann/können ebenfalls vorgegeben werden
  • Für die Abstände des Punktes Z zu den Grenzen A-D und B-C wurden eigene Nebenbedingungen geschaffen
  • Die Abstände \( a \) und \( c \) tendieren gegen 0, also gegebenenfalls Min > 0 setzen
  • Die Abstände \( d \) und \( e \) nicht allzu sehr einschränken, damit der Solver sie optimal kombinieren kann

Die folgende Datei enthält überdies zwei Diagramme, wobei die Geometrie unverzerrt dargestellt wird. Ein Makro erweckt sie mittels Befehlsschaltfläche >>> Animation <<< zum Leben und weckt hoffentlich auch Ihren Spieltrieb:

Scherenhubtisch Typ 1

Das Buch Auslegung von Maschinenelementen von Stephan Regele kann ich wärmstens empfehlen! Gemäß meiner Neigung auch wegen der mitgelieferten Excel-Berechnungstools zu allen Kapiteln. Dabei ist mir jenes der Scherenhubtische besonders aufgefallen, weil es Potenzial für Optimierungen bietet und sich somit der Solver geradezu aufdrängt. 😉

Versuche mit den Typen 2 und 3 haben gezeigt, dass eine erhebliche Reduktion der Zylinderkraft möglich wäre, ohne die Konstruktion groß umzukrempeln. Gerechterweise sei angemerkt, das man nicht davon ausgehen kann, in den präsentierten Beispielen bereits Optimierungen anzutreffen! Aber als Ziel für eine preiswerte Herstellung und einen günstigen Betrieb darf es gelten.

Selbst der einfach erscheinende Typ 1 bietet ein gewisses Optimierungspotenzial.
Die Berechnung der Zylinderkraft kann man dem Buch entnehmen. Sind die Gelenkkräfte nicht von Interesse, dann liegt das Prinzip der virtuellen Verschiebungen näher. Normalerweise sprechen Reibungskräfte dagegen, sind sie aber, wie in diesem Fall, einfach zu eruieren, dann ist es oftmals der direktere Weg. Wenn man aus dem sich gemäß Buch ergebenden Gleichungssystem die Gelenkkräfte eliminiert, dann muss sich jedenfalls auch folgender Ausdruck ergeben:

\[ F_Z = -F \frac { \left[ \frac { \left( a + b \right) ^2 \sqrt { 1 – \left( \frac { h } { a + b } \right) ^2 } } { h } \pm \mu \left( \left| b – a + \frac { c } { \sqrt { 1 – \left( \frac { h } { a + b } \right) ^2 } } \right| + \frac { \vert c \vert } { \sqrt { 1 – \left( \frac { h } { a + b } \right) ^2 } } \right) \right] \sqrt { \left( x_F – 2 b \sqrt { 1 – \left( \frac { h } { a + b } \right) ^2 } \right) ^2 + y_F ^2 } } { 2 b \left( x_F – 2 b \sqrt { 1 – \left( \frac { h } { a + b } \right) ^2 } \mp \mu y_F \right) } \]

Ein Druckzylinder weist eine negative, ein Zugzylinder eine positive Zylinderkraft auf.
Je nachdem, ob angehoben oder abgesenkt wird, braucht es unterschiedliche Vorzeichen vor der Reibzahl \( \mu \), was mittels eines Schalters zufolge des gewählten Modus “Heben” oder “Senken” erreicht wird.
Die Beträge sind nötig, damit sich die Wirkungsrichtung der Reibungskräfte nicht umkehrt.
Der Makro für den Solver wird mittel Befehlsschaltfläche >>> Solver <<< gestartet, wobei folgendes gilt:

  • Es wird die betragsmäßig kleinste Zylinderkraft \( F_Z \) gesucht
  • Variable Parameter dafür sind \( a \), \( b \), \( c \), \( x_F \) und \( y_F \)
  • Diese werden nur variiert, wenn Unter- oder/und Obergrenze (Min, Max) vorliegt/vorliegen
  • Minimale oder/und maximale Zylinderlänge kann/können ebenfalls vorgegeben werden
  • Die Abstände \( a \) und \( c \) tendieren gegen 0, also gegebenenfalls Min > 0 setzen

Die folgende Datei enthält überdies zwei Diagramme, wobei die Geometrie unverzerrt dargestellt wird. Ein Makro erweckt sie mittels Befehlsschaltfläche >>> Animation <<< zum Leben und befeuert hoffentlich auch Ihren Spieltrieb:


Versionstabelle

Klothoide

Die erste Bekanntschaft mit einer Klothoide dürfte den meisten Menschen nicht bewusst sein. Jedes Kind, das nicht vom Tretroller oder Fahrrad abgeworfen werden will, nutzt sie ganz natürlich, da es allmählich und nicht abrupt einlenkt.
Als stolzer Besitzer einer Spielzeugeisenbahn merkt man den schlagartigen Beginn der Kurvenfahrt, wenn man die Standardbögen nutzt. Würde das in der Realität ebenso sein, dann führte diese Schienenbindung zu in jeder Hinsicht schädlichen Querrucken. Die Passagiere täten sich jedenfalls bedanken! 😉
Wie ungebundene(re) Autofahrer “von der Bahn abkommen”, wenn sie “unrund” konzipiert ist, zeigt das folgende Bild:

Quelle: Gläser, Hans [1972]: Trassierung von Straßen und Gewässern

Ich kann mich nicht erinnern, dass die Klothoide in meiner Technikausbildung je näher beleuchtet wurde. Das dürfte bei anderen ähnlich gewesen sein, jedenfalls fand sie auch bei ausgewiesenen Anwendungsfällen (z. B. Rollenführungen) keinen Anklang!
Im Zuge der Beschäftigung mit der Kerbformoptimierung drängte sie sich wieder einmal auf, da man sich dort schon mit Ellipse, Tangens und Traktrix versucht hatte.
Das blieb zwar fruchtlos, die Auseinandersetzung hatte aber schon Früchte in Excel getragen.
Die folgende Datei enthält Formeln für den Ordinaten- und Abszissenwert zufolge einer Bogenlänge L und einer Konstanten A. Jeder einzelne Wert verlangt wegen der darin verarbeiteten Reihe die Eingabe als Matrixformel (Arrayformel) (STRG+UMSCHALT+EINGABE). Für die Berechnung mehrerer Werte wurde deswegen eine benutzerdefinierte Funktion CLOTHOID(Konstante;Bogenlänge am Ende;[Bogenlänge am Anfang];[Anzahl der Zwischenpunkte]) programmiert, wobei Konstante und Bogenlänge am Ende erwartet werden und Bogenlänge am Anfang und Anzahl der Zwischenpunkte optional sind. Die Funktion liefert gleichzeitig die Werte für Ordinate, Abszisse, Steigungswinkel und Krümmung, auf einzelne Werte davon greift man via Funktion INDEX zu:

Kerbformoptimierung mit Zugdreiecksmethode

Ich weiß nicht mehr, wie ich auf das Buch “Warum alles kaputt geht” von Professor Claus Mattheck gestoßen bin. Vielleicht habe ich wieder einmal nach meinem Steckenpferd “Bionik” gegoogelt. Jedenfalls gesellte es sich zu jenen von Professor Werner Nachtigall:

  • Vorbild Natur: Bionik-Design für funktionelles Gestalten
  • Bionik: Grundlagen und Beispiele für Ingenieure und Naturwissenschaftler
  • Das große Buch der Bionik: Neue Technologien nach dem Vorbild der Natur
  • Natur macht erfinderisch: Das große Buch der Bionik

Weitestgehend auf Mathematik verzichtend handeln die Seiten 98 bis 103 von einer möglichst kerbfreien Schulter eines abgesetzten Bauteils, das auf Zug beansprucht ist.
Im Formelanhang auf Seite 186 findet sich dafür unter dem Titel “Formoptimierung” folgende detailliertere Skizze:

Quelle: “Warum alles kaputt geht”, mit freundlicher Genehmigung von Professor Claus Mattheck

Die nächste Seite präsentiert dazu schließlich folgende Formeln: \[ \begin{array}{lcr}
& \Delta F_T = – \Delta F_Q & (1) \\
& F_T^i – F_T^{i + 1} = F_Q^{i + 1} – F_Q^i & \\
& F_T^{i + 1} = F_0 \frac {D_0} {D_{i + 1}} \cos \left( \sum_{k = 0}^i \alpha_k \right) & (2) \\
& F_T^i = F_0 \frac {D_0} {D_i} \cos \left( \sum_{k = 0}^{i – 1} \alpha_k \right) & (3) \\
& F_Q^{i + 1} = 2 F_T^{i + 1} \sin \left( \frac {\alpha_{i + 1}} 2 \right) & (4) \\
& F_Q^i = 2 F_T^i \sin \left( \frac {\alpha_i} 2 \right) & (5) \\
\text{mit} & D_{i + 1}=D_i + 2 s \sin \left( \sum_{k=0}^i \alpha_k \right) & \text{folgt aus (1) – (5):} \\
& \alpha_{i+1} = 2 \arcsin \left\{ \frac {\frac {D_{i+1}}{D_i} \cos \left( \sum_{k = 0}^{i-1} \alpha_k \right) \left[ 1 + 2 \sin \left( \frac {\alpha_i} 2 \right) \right] – \cos \left( \sum_{k = 0}^i \alpha_k \right)}{2 \cos \left( \sum_{k = 0}^i \alpha_k \right)} \right\} & (6)
\end{array} \]

Als einstmaliger Konstrukteur kam es mir so vor, als wollte man den klassischen Korbbogen in praxisuntauglicher Form akademisch neu erfinden. Als Berechnungsingenieur interessierte mich der Ansatz durchaus, weswegen ich ihn eingehender studierte.
Die Verhältnisse \( \frac {D_0}{D_{i + 1}} \) und \( \frac {D_0}{D_i} \) in den Gleichungen \( (2) \) und \( (3) \) sind eigentlich die Flächenverhältnisse mit herausgekürzter Dicke bei Zug- oder Druckspannung.
Zur allgemeinen Anwendung werden \( \left( \frac {D_0}{D_i} \right)^{k_W} \) und \( \left( \frac {D_0}{D_{i + 1}} \right) ^{k_W} \) als Widerstandsverhältnisse eingeführt, mit:
\( \bullet\ k_W = 1 \) für Zug und Druck eines ebenen Querschnitts der Breite \( D \)
\( \bullet\ k_W = 2 \) für die Biegung eines ebenen Querschnitts der Breite \( D \)
\( \bullet\ k_W = 3 \) für die Biegung und Torsion eines Kreisquerschnitts mit Durchmesser \( D \)
Damit ergibt sich eine universellere Formel für den lokalen Knickwinkel:
\[ \alpha_{i+1} = 2 \arcsin \left\{ \frac { \left( \frac {D_{i+1}}{D_i} \right)^{k_W} \cos \left( \sum_{k = 0}^{i-1} \alpha_k \right) \left[ 1 + 2 \sin \left( \frac {\alpha_i} 2 \right) \right]}{2 \cos \left( \sum_{k = 0}^i \alpha_k \right)} – \frac 1 2 \right\} \]

Daraus entstand eine App mit folgenden Eigenschaften:
Vorwahl der Spannungsart Zug/Druck, Biegung: Ebener QS, Biegung: Runder QS oder Torsion, Festlegung einer Segmentanzahl von 1 bis 10 und die Vorgabe eines Anfangsquerschnitts.
Mittels des Solvers werden Segmentlänge und Anfangswinkel derart variiert, dass etwaige Minima und Maxima derselben aber auch jene eines Abbruchwinkels und der Länge und Höhe der Kerbe eingehalten werden. Dabei wird immer versucht, die Höhe voll auszunützen. Die Koordinaten der sich ergebenden Spline-Punkte können sodann im CAD verwendet werden:

Geyer-Punkte

Mein Nachname in Geyer-Punkte soll nur den Kontext zu den Bessel-Punkten herstellen, denen ich bereits einen Beitrag gewidmet habe. Die genialen Herren Friedrich Wilhelm Bessel und George Biddell Airy sind jene Riesen, auf deren Schultern ich dabei stehe!
Die speziellen Punkte lassen sich auf einem 2-fach gelagerten und somit statisch bestimmten Balken allesamt analytisch explizit bestimmen. Aber mit bloß 2 Auflagern dürfte man bei längeren Balken kein Auslangen mehr finden. Bei 3 Auflagern könnte es für einen der Fälle noch eine exakte Lösung geben, darüber hinaus dürfte man aber auf verlorenem Posten sein. Also braucht es einen universellen Ansatz!
Hier kommt der in Excel integrierte Solver ins Spiel. Mit ihm lassen sich die Auflagerkoordinaten solange variieren, bis sich die gewünschten Randbedingungen in vorgegebener Genauigkeit einstellen.
Bei 2 Auflagern ergeben sich folgende Lösungen:

  • Drehmomentenfreie Lagerung (horizontale Tangente an den Auflagern, minimale mittlere Durchbiegung und somit minimale Verzerrungsenergie; bei mehr als 2 Auflagern ergeben sich deswegen gleichzeitig die kleinstmöglichen maximalen Biegemomente an allen Auflagern, die doppelt so groß sind als jene dazwischen)
  • Airy-Punkte (horizontale Tangente an den Enden)
  • Normative Festlegung (gleiche Durchbiegung an den Enden und in der Mitte)
  • Geringste maximale Randfaserspannung (gleicher Biegemomentbetrag an den Lagern und in der Mitte)

Bei mehr als 2 Auflagern offerieren sich die Airy-Punkte in 2 Varianten, und für die entfallende geringste maximale Randfaserspannung kommen gleiche Auflagerkräfte hinzu:

  • 2 mögliche Airy-Punkte: Horizontale Tangente an den Enden und
    – gleiche Durchbiegung in den Mitten oder
    – horizontale Tangenten an den inneren Auflagern
  • Gleiche Auflagerkräfte

Alle nicht unbedingt auf dem Tabellenblatt ersichtlich sein müssenden Berechnungen wurden per Namen in den Hintergrund verbannt. Für die Definition von Vektoren und Matrizen wurde wiederum ein “very hidden” Tabellenblatt “X” und INDEX in Bezugsversion benutzt. Den Rechengang möchte ich nicht detailliert beschreiben, nur so viel:

  • Die Berechnung der Auflagerkräfte fußt auf der Lösung eines Gleichungssystems
  • Zur Bestimmung von Polynom-Nullstellen dient die benutzerdefinierte Funktion POLYNOMIAL1TO4ZERO
  • Die benutzerdefinierten Funktion INDEX2 wird vor allem für Namen gebraucht, die zufolge eines Vektors mehrere Werte an Diagramme übergeben können müssen
  • Die Arrayformel für x(y”’ = 0) musste mittels eines Tricks zur Aktualisierung gezwungen werden, nämlich der Addition einer mit 0 multiplizierten volatilen Funktion: 0*HEUTE()
  • Die Lösung mittels Solver erfolgt via Befehlsschaltfläche, der der Makro “Optimierung” zugeordnet ist

Es wäre interessant zu erfahren, welche Anwendungen durch meine Berechnung abgedeckt werden können! Deswegen stelle ich vorerst eine Variante für maximal 5 Auflager zum Download bereit. Wer will und kann, möge sich die Datei selbst erweitern, alle anderen sind aufgerufen, mich hinsichtlich ihrer Anforderungen gerne zu kontaktieren:

Versionstabelle

SERVO-Voreinstellung OHNE Zugpunkt

Auch wenn meine Zeit als Pflug-Entwickler schon lange zurückliegt, so ist mir doch eine gewisse Faszination für das Einstellzentrum geblieben. Und so verspüre ich hin und wieder Lust, an einer Vereinfachung bzw. Verbesserung zu tüfteln.
Bei der Verfolgung eines Reengineering-Ansatzes, aus vorliegenden Ergebnissen und dem Prinzip einer Gelenkkette in Excel mittels Solver auf dessen Abmessungen zu kommen, dachte ich als Testobjekt natürlich sofort an das von mir entwickelte SERVO-Einstellzentrum der noch immer aktuellen Generation.
Im Zuge dessen entdeckte ich in mehreren Betriebsanleitungen einige Unstimmigkeiten in Tabellen für die Grundeinstellung. Das konnte mir gar nicht recht sein, da ich die Werte für die Typen 35, 45 und 55 einst selbst vorgegeben hatte!
Die Nachfrage ergab, dass bei SERVO 35 und 45 dem Austausch eines Bildes mit geänderter Definition der einzustellenden Maße nicht die entsprechenden Werte gefolgt waren.
Hinweis: Ursprünglich wurden mechanische (gestufte) und hydraulische (stufenlose)Schnittbreitenverstellung unterschiedlich gehandhabt.
Ein Jahr später, am 1. September 2017, zeigt sich folgender Stand:

  • SERVO 35: Man sieht wieder ein Bild mit alter Definition (bei der Richtung der Maßlinien hätte man sich mehr Mühe geben können), wodurch die Maße wieder passen: 981.DE.80R.0.pdf
  • SERVO 45: Geändert wie bei SERVO 35: 983.DE.80R.1.pdf, in 983.DE.80N.1.pdf ist es allerdings unverändert falsch.

Nun sehe ich die Zeit gekommen, meinerseits Tabellen zur Verfügung zu stellen, wobei die Spindellänge in allen Fällen einheitlich das Maß zwischen den Spindelbolzen ist! Dadurch kann nämlich auch bei der Standard-Ausführung die wegen der Gewindeüberdeckung kritische maximale Spindellänge besser angegeben werden!
Wegen meines Idealismus habe ich damals nicht nur alle Kinematik-Formeln privat entwickelt, sondern auch die Optimierung mittels Solver praktisch angewendet, weswegen mir alte Excel-Dateien vorliegen. Für die Verifizierung mancher Abmessungen nutzte ich Orthogonale Axonometrie.
Für die Voreinstellung gemäß Pöttinger werden berücksichtigt:

  • Radabstand RA (Innenabstand der Schlepperräder)
  • Pflugtyp (35 und 45)
  • Version (Standard, PLUS = stufenlos)
  • Körpersicherung (Scherschraube, NOVA = hydraulische Steinsicherung)
  • Schnittbreite (Standard: Nur jene des gängigen Körperabstands von 95 cm, 88, 102 und 115 cm führen zu abweichenden Maßen; PLUS: Eine mittlere des gängigen Körperabstands von 95 cm)
  • Da je nach Körperform unterschiedliche Abstände der Schneidkante zum Körperhalter vorliegen, wird der allseits gleiche zur Anlage genommen
  • Feineinstellung (von mir wurde der Median gewählt, was aber ohnehin relativ wenig Einfluss hat)

Das folgende Archiv enthält PDF-Dateien für SERVO 35 und 45. Die Maße können nicht nur aus Tabellen abgelesen, sondern auch aus Diagrammen entnommen werden. Aus nachvollziehbaren Gründen kann allerdings keine Gewähr übernommen werden:

PS: Im Bild ist ersichtlich, dass wegen der angenommenen Symmetrie der Unterlenker die Zuglinie natürlich beliebig weit entfernt von der Mitte der Hinterachse verläuft. Die deutlich hilfreichere SERVO-Grundeinstellung MIT Zugpunkt ist übrigens schon in Arbeit!

Bolzen-Verdrehsicherung

Sind Bolzen höher belastet oder/und schmierbar ausgelegt, dürfen sie sich im Allgemeinen nicht verdrehen. Einerseits sollen die Schmierbohrungen nicht im Pressungsbereich zu liegen kommen, andererseits darf die Kerbwirkung dieser Bohrungen nicht in die höchstbelasteten Randfasern gelangen. In der Praxis finden sich, abgesehen vom klassischen Achshalter, die unterschiedlichsten Lösungen, oftmals mit Schweißungen und Bohrungen, die nachteilig für die (Dauer-)Festigkeit sind. Viele Ausführungen könnten als quasi Werknormen betrachtet werden, denen man die Vorlieben und Möglichkeiten früherer (eigener) Fertigungsmöglichkeiten ansieht! Die vorgeschlagene Ausführung der Bolzen-Verdrehsicherung geht – angenähert durch einfache Kreisbögen – vom Prinzip der geschlossenen Epizykloide und Hypozykloide (Hypotrochoide) aus. Deren Verwandte in Form des Innensechsrunds (Torx) und der Polygonprofile sind bekannt. Es liegt also ein mehrfacher Formschluss vor, der gedrungen bleiben kann und somit wenig Zerspanungsvolumen nach sich zieht, wobei obig erwähnte Schweißungen und Bohrungen samt deren Nachteilen entfallen. Die Ausführungsmöglichkeiten wurden bereits umfangreich mittels Excel (Optimierung via Solver) und CAD beleuchtet. Dies und Prinzip-Skizzen samt mathematischer Herleitungen können zur Findung einer bestmöglichen Ausführung zur Verfügung gestellt werden.

Obiges ist die Beschreibung eines am 18.01.2017 ans ASI übermittelten Projektantrags, dem folgendes Schicksal beschieden war:
“Das Komitee 029 hat in seiner 629. Sitzung, am 21. Juni 2017 folgendes bzgl. Ihres Projektantrages beschlossen: Da dieses Normprojekt derzeit keine Marktrelevanz aufweist und sich auch keine weiteren Stakeholder für eine Beteiligung an der Mitwirkung eines derartigen Normprojektes während der Einspruchsphase gemeldet haben, ist das Komitee 029 der Meinung, dieses Vorhaben nicht zu starten. Es wird daher einstimmig beschlossen, den Projektantrag nicht in das Arbeitsprogramm aufzunehmen und daraus folgend kein Normprojekt zu starten.”

Da die “Beschreibung, was sein würde, wenn die Norm/ONR nicht er- oder überarbeitet wird” lautet: “Dann würde ich meine Erkenntnisse als bereits vorliegende Excel-Berechnungen auf meiner privaten Homepage www.excelution.at präsentieren.”, biete ich für Interessenten 2 Downloads an:

Die Excel-Datei enthält, ausgehend von der einst selbst entwickelten singulären Parabel, die mehrfachen Zykloiden und deren Vereinfachungen, wobei der Sonderfall als “einfachste” Form auch für die optimierte Auslegung zur Verfügung steht:

Die STEP-Baugruppen-Datei beinhaltet dazu alle 5 Varianten, wie sie in der Excel-Datei optimiert wurden. Die Ausführung ist dabei die – zumindest für mich – denkbar einfachste, da die Verdrehsicherung zugleich die Aufgabe der Lagerung übernimmt (Dicke t muss entsprechend erhöht werden) und der Kopf durch einen Sprengring nach DIN 5417 für Wälzlager gemäß DIN 616 gebildet wird. Wenn die dafür erforderlichen Toleranzen nicht (wirtschaftlich) umgesetzt werden können, oder ein (fixer) größerer Kopf benötigt wird, dann braucht es eine entsprechende Aufgabenteilung: