Linie glätten 5

Wie in Linie glätten 4 versprochen, folgt nun das – im Vergleich zu 2 Polynomen 3. und 4. Grades – deutlich einfachere und trotzdem funktionierende Prinzip zur Bestimmung einer Tangente mit den beiden Nachbarpunkten.

Gegeben seien ein Anfangspunkt A, ein Mittenpunkt M und ein Endpunkt E, durch die eine geglättete Kurve verlaufen soll.
Gesucht ist die Tangente im Punkt M, die jener der von mir favorisierten Straklatte am nächsten kommt.
Tangentenvektor \( \vec m \) als Linearkombination der normierten Vektoren \( \vec a = \vec {AM} \) und \( \vec e = \vec {ME} \): \( \vec m = p \cdot \frac {\vec a}{\vert \vec a \vert} + \frac 1p \cdot \frac {\vec e}{\vert \vec e \vert} \)
Gewichtungsfaktor \( p \) ist dabei eine Potenz mit dem Quotienten der Vektorenbeträge als Basis und einem Gewichtungsexponenten \( q \) als Exponent: \( p = \left ( \frac { \vert \vec e \vert }{ \vert \vec a \vert } \right ) ^q = \left ( \frac { \vert \vec e \vert ^2 }{ \vert \vec a \vert ^2 } \right ) ^{q/2} \)
Der Tangentenwinkel \( \varphi \) ergibt sich zu: \[ \varphi = \arctan \frac {m_y}{m_x} = \arctan \frac {\left ( \vert \vec e \vert ^2 \right ) ^{0{,}5+q} a_y + \left ( \vert \vec a \vert ^2 \right ) ^{0{,}5+q} e_y}{\left ( \vert \vec e \vert ^2 \right ) ^{0{,}5+q} a_x + \left ( \vert \vec a \vert ^2 \right ) ^{0{,}5+q} e_x} \]
Damit lässt sich mit \( – \infty \le q \le + \infty \) der Tangentenwinkel \( \varphi \) beliebig zwischen den beiden Vektoren \( \vec a \) und \( \vec e \) einstellen.
Die Microsoft’sche Methode ergibt sich somit beim Gewichtungsexponenten \( q = -0{,}5 \).

Das Tabellenblatt Gewichtung dient der Bestimmung des Gewichtungsexponenten \( q \):

  • 5 unterschiedlichen Gewichtungsexponenten \( q \) lassen sich in Zelle B8 aktivieren, um die Vektoraddition \( \vec a_p + \vec e_p \) und den Verlauf der Segmente 1 und 2 im Diagramm zu veranschaulichen.
  • Wie in einem Falle von Linie glätten 4 liegen ja auch hier 2 Polynome 3. Grades vor. Um für den dortigen Fall mit A(-1;1), M(0;0) und E(1;2) den gleichen Tangentenwinkel zu erhalten, bräuchte es \( q=0{,}722557… \), was mit einer Abweichung von nur 2,2% “verdächtig” nahe an \( \frac {1}{\sqrt{2}} = 0{,}707106… \) liegt!
  • Der Kehrwert des Goldenen Schnittes mit \( \frac {\sqrt {5} – 1}{2} = 0{,}618033… \) wäre mir übrigens auch sehr willkommen gewesen. 😉

Im Tabellenblatt Spline werden an 4 Segmenten folgende Effekte demonstriert:

  • Tangentenlänge \( l \): Die Länge der Tangenten der 5 Punkte
  • Anzahl der Zwischenpunkte \( n \): Nach dem Grundsatz “So wenig wie möglich, so viel wie nötig” braucht es hierfür noch einen variablen Ansatz. Da der Gradient der Steigung im Allgemeinen an den Punkten größer ist, wurde die Verteilung der Punkte sinusförmig gewählt.
  • Spannung \( c \): In die einzelne Kurve eines kubisch hermiteschen Splines integriert, lässt sich damit der Verlauf zwischen den Punkten steuern: \( f(t) = (1 + 2 t) (1 – t)^2 p_1 + t^2 (3 – 2 t) p_2 + c t (1 – t) \left [ (1 – t) m_1 – t m_2 \right ] \). Standard sei 1, 0 führt zu einem Polygonzug und negative Werte rufen eine Schleifenbildung hervor.
  • Gewichtungsexponent \( q \): Mein Favorit ist \( \frac {1}{\sqrt{2}} \), Microsoft würde \( -0{,}5 \) verwenden.
  • Methode: “Geyer” ist der Versuch einer Verbesserung der Option “Linie glätten”, “Microsoft” ist der aktuelle Standard.
  • Verzerrung: “Unzulässig” bewirkt gleiche Achsen-Skalierungen durch die automatisierte Wahl geeigneter Achsen-Grenzen, “Zulässig” überlässt diese Wahl Excel.

Die folgende Datei enthält die beiden obig beschriebenen Tabellenblätter zum spielerischen Nachvollziehen meines Ansatzes:

Linie glätten 4

In Kubischer Spline mutmaße ich, dass die Straklatte der Idealfall für eine substantielle Verbesserung der Option “Linie glätten” (engl. “Smoothed line”) sei.
In Parametrische Spline-Interpolation erwähne ich, dass ich schon ein deutlich einfacheres und trotzdem funktionierendes Prinzip für eine Näherung mit den zwei Nachbarpunkten gefunden habe.
Um meine Gedankengänge – auch für mich selbst – nachvollziehbar zu erhalten, möchte ich allerdings vorerst meine Näherungsversuche zur Straklatte und deren schlussendlich gesuchte Steigung am Mittenpunkt präsentieren:

  • Die naheliegende natürliche Parametrische Spline-Interpolation durch 3 Punkte ist ein Schuss in den Ofen, weil sich allerhöchstens in Sonderfällen zufällig ein Kraftgleichgewicht ergibt. Dazu müssen sich nämlich die Tangentennormalen aller 3 Punkte in einem Punkt treffen. Den beiden Polynomen 3. Grades kann man das auch gar nicht vorwerfen, da sie dazu auch nicht die nötigen “Freiheiten” haben, um das überhaupt vorsehen zu können! Das Ergebnis ist die immer wieder ernüchternde Micrsoft’sche Methode.
  • Ein einzelnes Polynom muss den 5. Grad aufweisen, um alle Bedingungen erfüllen zu können. Da in den beiden Endpunkten die 2. Ableitung Null sein muss, bleibt eine übrig, die der allgemeinen Anwendbarkeit einen Strich durch die Rechnung macht, da sie sich unzulässigerweise in den betrachteten Bereich “einschleicht”!
  • Zu Versuchen mit höheren Graden und geschickten Annahmen mit beispielsweise komplexen Nullstellen sei nur angemerkt, dass sie fruchtlos waren. Ob dies der grundsätzlichen Unmöglichkeit oder meinem mathematischen Unvermögen geschuldet ist, werde ich wohl selbst nicht eruieren können.
  • Diese komplexen Höhen trieben mich in die triviale Niederung des 1. Grades. Die Straklatte wird durch 2 Geraden (Sekanten) ersetzt. Die Normalen darauf in den Endpunkten schneiden sich in einem Punkt, dessen Verbindung zum Mittenpunkt die Steigung in selbigem festlegt. Trotz “brutalem” Eck am Mittenpunkt zeigt sich schon der erwartete Widerspruch zur aktuellen Glättung!
  • Preisfrage: Was passiert, wenn man 2 Polynome 3. Grades heranzieht und alle Bedingungen bis auf das Kräftegleichgewicht einhält? Man kommt auf kompliziertem Weg zu Microsoft, deckungsgleich mit der oben erwähnten Spline-Interpolation!
  • Wenn man bei 2 Polynomen 3. Grades das Kräftegleichgewicht erfüllt und dafür die gleiche Krümmung am Mittenpunkt “opfert”, dann verstärkt sich der obige Widerspruch noch! Aber auch die Unsicherheit, wo denn die “Wahrheit” liegen könnte.
  • Um das einzelne Polynom 5. Grades zu ersetzen, braucht es eines 3. und eines 4. Grades. Da das Polynom 4. Grades auch einen “überzähligen” Wendepunkt hat, muss dieser “ausgeschlossen” werden. Dies gelingt verlässlich, wenn der vom Mittenpunkt weiter entfernte Punkt via 4. Grad verbunden ist!
    Dieser Ansatz bestätigt den vorhergehenden sehr gut.

Resümee:

  • 2 Polynome 1. Grades führen zu einer einfachen Formel für die gesuchte Steigung, wird aber durch keinen weiteren Ansatz bestätigt.
  • 2 Polynome 3. und 4. Grades erfüllen alle Bedingungen und werden durch 2 Polynome 3. Grades bestätigt. Der Aufwand ist aber unvertretbar hoch!
  • Also wird demnächst eine “Näherung der Näherung” in Form eines “deutlich einfacheres und trotzdem funktionierendes Prinzips” vorgestellt.

Oben Erwähntes habe ich wie immer in “Excel gegossen”, damit es nachvollziehbar bleibt und “spielbar” wird. Die folgende Datei enthält dazu die Ansätze mit

  • 1 Polynom 5. Grades,
  • 2 Polynome 1. Grades,
  • 2 Polynome 3. Grades (Microsoft),
  • 2 Polynome 3. Grades und
  • 2 Polynome 3. und 4. Grades:

TEILERGEBNIS für RGP

Zur Berechnung des Wertverlusts von PKWs unterschiedlicher Erstzulassung wollte ich die Steigung eines linearen Trends mittels der Funktion RGP(Y_Werte;[X_Werte];[Konstante];[Stats]) verwenden. Als ich allerdings einen Filter setzte, musste ich feststellen, dass manuell ausgeblendete Zellen eingeschlossen bleiben. Also bemühte ich die Funktion TEILERGEBNIS(Funktion;Bezug1;[Bezug2];…), um zu erkennen, dass unter den angebotenen 11 Funktionen kein RGP zu finden ist. Dass Excel dies generell kann, sieht man aber daran, dass ein Diagramm auf ausgeblendete Zellen reagiert und eine etwaige lineare Trendlinie somit “gezwungen” ist, ihre Parameter demgemäß anzupassen!

Was liegt also näher, als eine Benutzerdefinierte Funktion SUBTOTAL_RGP(Y_Werte;[X_Werte];[Konstante];[Stats]) zu programmieren, die nichts anderes tun muss, als die sichtbaren Zellen herauszufiltern, um sie der ursprünglichen Arbeitsblattfunktion RGP (VBA: Worksheetfunction.LinEst) als Arrays zu übergeben.
Die Funktion akzeptiert Bezüge und Matrizen in Zeilen und Spalten, mit der momentanen Einschränkung gegenüber RGP, dass der Bereich der X_Werte nur eine Variablengruppe umfassen darf.

Die folgende Datei zeigt die Funktionalität mittels zweier Gruppierungen und Zufallszahlen, wobei die Formel in den Diagrammen als Kontrolle dienen mag:

Moment um allgemeine Achse

Momente sind an und für sich nichts Besonderes, solange Sonderfälle zu Vereinfachungen führen. Das Moment um eine allgemeine Achse aber brachte mich zum Grübeln, da ich natürlich eine für mich zukunftsträchtige Lösung in Excel haben wollte: Kraft oder/und Moment wirken an einem Angriffspunkt und erzeugen ein Moment um eine Achse.
Da mich Google im Stich ließ, überlegte ich einen Lösungsweg:

  • Für eine Kraft braucht es deren wirksame Komponente und ihren Hebelarm. Ersteres ist die Projektion der Kraft in eine Normalebene der Achse. Letzteres ist der Normalabstand dieser Projektion zur Achse.
  • Für ein Moment genügt dessen wirksame Komponente.

Nach längerer Herleitung, zeigte sich ein unsympathisches Konvolut, was zugegebenermaßen zum Teil “meiner Mathematik” geschuldet sein hätte können. Die Unwägbarkeiten eines kommutativen Skalarprodukts ließen mich dann aber einen anderen Weg einschlagen, nämlich ganz althergebracht den allgemeinen Fall zum Sonderfall zu machen!

  1. Verschiebung des Achsenpunktes in den Nullpunkt
  2. Drehung um die x-Achse, damit die Achse in der z-x-Ebene zu liegen kommt
  3. Drehung um die y-Achse, damit die Achse schließlich kollinear zur z-Achse ist

Und schon haben wir den quasi ebenen Sonderfall! Die sich durch die Transformationen ergebenden Kraftkomponenten \( F_x^{\prime\prime} \) und \( F_y^{\prime\prime} \) samt zugehöriger Wirkabstände \( y^{\prime\prime\prime} \) und \( x^{\prime\prime\prime} \) und die Momentkomponente \( M_z^{\prime\prime} \) ergeben das gesuchte Moment \( M \) .
Die folgende Datei zeigt dies einerseits aufwändig aber nachvollziehbar Schritt für Schritt, vereinfacht mit Drehmatrizen in Zellen, kompakt mit Hilfe von Namen und für mich optimal als Benutzerdefinierte Funktion:

Bemerkung: Nicht als 97-2003-Version, weil in den Diagrammen der kombinierte Typ “Doppelt” der Linie des Moments und generell der Endpfeiltyp “Pfeil” – ohne Warnung beim Speichern im Kompatibilitätsmodus – verworfen wurden.

Geyer-Punkte

Mein Nachname in Geyer-Punkte soll nur den Kontext zu den Bessel-Punkten herstellen, denen ich bereits einen Beitrag gewidmet habe. Die genialen Herren Friedrich Wilhelm Bessel und George Biddell Airy sind jene Riesen, auf deren Schultern ich dabei stehe!
Die speziellen Punkte lassen sich auf einem 2-fach gelagerten und somit statisch bestimmten Balken allesamt analytisch explizit bestimmen. Aber mit bloß 2 Auflagern dürfte man bei längeren Balken kein Auslangen mehr finden. Bei 3 Auflagern könnte es für einen der Fälle noch eine exakte Lösung geben, darüber hinaus dürfte man aber auf verlorenem Posten sein. Also braucht es einen universellen Ansatz!
Hier kommt der in Excel integrierte Solver ins Spiel. Mit ihm lassen sich die Auflagerkoordinaten solange variieren, bis sich die gewünschten Randbedingungen in vorgegebener Genauigkeit einstellen.
Bei 2 Auflagern ergeben sich folgende Lösungen:

  • Drehmomentenfreie Lagerung (horizontale Tangente an den Auflagern, minimale mittlere Durchbiegung und somit minimale Verzerrungsenergie; bei mehr als 2 Auflagern ergeben sich deswegen gleichzeitig die kleinstmöglichen maximalen Biegemomente an allen Auflagern, die doppelt so groß sind als jene dazwischen)
  • Airy-Punkte (horizontale Tangente an den Enden)
  • Normative Festlegung (gleiche Durchbiegung an den Enden und in der Mitte)
  • Geringste maximale Randfaserspannung (gleicher Biegemomentbetrag an den Lagern und in der Mitte)

Bei mehr als 2 Auflagern offerieren sich die Airy-Punkte in 2 Varianten, und für die entfallende geringste maximale Randfaserspannung kommen gleiche Auflagerkräfte hinzu:

  • 2 mögliche Airy-Punkte: Horizontale Tangente an den Enden und
    – gleiche Durchbiegung in den Mitten oder
    – horizontale Tangenten an den inneren Auflagern
  • Gleiche Auflagerkräfte

Alle nicht unbedingt auf dem Tabellenblatt ersichtlich sein müssenden Berechnungen wurden per Namen in den Hintergrund verbannt. Für die Definition von Vektoren und Matrizen wurde wiederum ein “very hidden” Tabellenblatt “X” und INDEX in Bezugsversion benutzt. Den Rechengang möchte ich nicht detailliert beschreiben, nur so viel:

  • Die Berechnung der Auflagerkräfte fußt auf der Lösung eines Gleichungssystems
  • Zur Bestimmung von Polynom-Nullstellen dient die benutzerdefinierte Funktion POLYNOMIAL1TO4ZERO
  • Die benutzerdefinierten Funktion INDEX2 wird vor allem für Namen gebraucht, die zufolge eines Vektors mehrere Werte an Diagramme übergeben können müssen
  • Die Arrayformel für x(y”’ = 0) musste mittels eines Tricks zur Aktualisierung gezwungen werden, nämlich der Addition einer mit 0 multiplizierten volatilen Funktion: 0*HEUTE()
  • Die Lösung mittels Solver erfolgt via Befehlsschaltfläche, der der Makro “Optimierung” zugeordnet ist

Es wäre interessant zu erfahren, welche Anwendungen durch meine Berechnung abgedeckt werden können! Deswegen stelle ich vorerst eine Variante für maximal 5 Auflager zum Download bereit. Wer will und kann, möge sich die Datei selbst erweitern, alle anderen sind aufgerufen, mich hinsichtlich ihrer Anforderungen gerne zu kontaktieren:

3D-Punkt (XY)-Diagramm

Dass man ein Punkt (XY)-Diagramm zur Darstellung von Geometrie verwenden kann, wenn man für Verzerrungsfreiheit sorgt, habe ich mittels Punkt (XY)-Diagramm unverzerrt realisiert. In Belastungsverteilung tat ich damit erstmals den Schritt in die 3. Dimension, wobei alle 3 Euler-Winkel frei einstellbar sind, und 8 vordefinierte Ansichten zur Auswahl stehen.

Da ich räumliche Darstellungen wiederholt benötige, habe ich mir eine Vorlage generiert, die sich schnell in neue Projekte integrieren lässt. Die z-Achse ist dabei wie in der Axonometrie stets vertikal ausgerichtet, wodurch nur noch zwei Drehwinkel definiert werden müssen: Jener um die z-Achse und der Winkel um die Horizontale. Diese Winkel können als beliebiger Zahlenwert eingegeben oder schrittweise mittels Bildlaufleiste definiert werden. Natürlich gibt es auch wieder die 8 vordefinierten Ansichten (Isometrisch, Dimetrisch, Oben, Unten, Vorne, Hinten, Rechts und Links), die mittels Kombinationsfeld oder Listenfeld gewählt werden können. Je nach Geschmack kann eines der beiden Elemente gelöscht und der Code (gemäß dortiger Anleitung) angepasst werden.

Die benötigte Mathematik (Gesamt-Drehmatrix zufolge Multiplikation 2er Drehmatrizen, transformierte Punkte und deren Extremwerte für die Achsendefinition) ist via Namen komplett ausgelagert, was auch für die Daten des Diagramms (Achsen und Datenreihen) gilt. Auf dem Tabellenblatt befinden sich also nur benötigte Eingaben für Punkte und Winkel und die Ansichtsbezeichnungen für die Listen.

Die folgenden Datei enthält ein Punkt (XY)-Diagramm, das zur 3-dimensionalen Darstellung genutzt wird. Da es mir als Vorlage sehr dienlich ist, mag es auch für andere geeignet sein:

Titanic-Frontalcrash

In der 2013er-Ausgabe, der sehr empfehlenswerten Serie “Denkanstöße” des Piper-Verlags, findet sich ein Ausschnitt aus Metin Tolans Buch “Titanic – Mit Physik in den Untergang”. Auch populärwissenschaftliche Literatur sollte Einsteins Prämisse “Mache die Dinge so einfach wie möglich – aber nicht einfacher” beherzigen. Übertriebene Simplifizierungen aus Rücksicht auf die breite Leserschaft sollten demgemäß unterbleiben. Dies war der Grund, warum ich die Idealisierung des Schiffs als masselose Feder mit dessen Gesamtmasse im Heck via E-Mail bemängelte. Leider vergeblich auf eine Antwort wartend, verlor sich flugs mein Fokus darauf.
Dann “erschien” mir der Professor für Experimentalphysik vor kurzem zufällig in einem automatisch nachfolgenden YouTube-Video, worin er kabarettistisch über Flugbahnen bei James Bond doziert. An die “verjährte” Leseprobe erinnert, kramte ich den damals in meinem “Sudelordner” abgehefteten Separationsansatz der partiellen Differentialgleichung für die frontale Kollision mit dem Eisberg heraus, und las abermals den betreffenden Abschnitt, um – noch kritischer – Folgendes zu erkennen:

  1. Es wird vorausgesetzt, dass die gesamte kinetische Energie in Verformungsenergie umgewandelt wird, ohne zu berücksichtigen, dass der Schiffsrumpf – um dies ertragen zu können – dabei aus allerbestem Federstahl bestehen müsste, da sich eine Höchstspannung von 1.568 MPa aufbauen würde.
  2. Die überraschende und gleichermaßen untaugliche Annahme ist aber, dass die dabei auftretende, geichmäßig über den ganzen Schiffsrumpf verteilte, elastische (!) Verkürzung von 2,11 m dann scheinbar schlagartig als plastischer Schaden am Bug auftritt!
  3. Weil dies von den etwa 20 m bei Computersimulationen weit entfernt ist, werden im Anschluss seitlich wirkende Scherkräfte postuliert.

Folgende Fragen seien erlaubt:

  1. Wäre ein sinusförmiger Verschiebungsverlauf nicht schon alleine deswegen richtiger, weil der Bug dann wegen der daraus folgenden nichtlinearen Dehnungen und somit Spannungen “weiß”, dass er am höchsten belastet ist und nachgeben sollte?
  2. Müsste das Ende der Elastizität hinsichtlich der tatsächlichen Streckgrenze, die Herr Foecke in NIST-IR 6118 – Metallurgy of the RMS Titanic mitteilt, nicht schon nach nur 0,36 bzw. vielmehr 0,23 m gekommen sein?
  3. Sollte man für die restliche Energie dann nicht beispielsweise die Ludwik-Gleichung bemühen, um die Spannungs-Dehnungs-Kurve des Werkstoffs zu approximieren, damit die spezifische plastische Energie errechnet werden kann?
  4. Wären dann 12,5 oder besser 13,1 m plastische Verkürzung nicht ausreichend realitätsnah, wenn man bedenkt, dass der Bug tatsächlich “spitz” endet?

Von den 4 Wochenstunden Experimentalphysik am Beginn meines Maschinenbaustudiums ist kaum etwas geblieben, was Goethes Worte “Wir behalten von unseren Studien am Ende doch nur das, was wir praktisch anwenden” bestätigt. Technische Mechanik praktiziere ich allerdings bis heute. Wie dies bei Herrn Tolan – fachlich quasi umgekehrt – gelagert ist, kann nur er selbst wissen!

Die folgende Datei zeigt die Effekte obiger Annahmen und Fragen:

PS: Den bis heute anhaltenden, eigentlich unangebrachten Hype um den Untergang der Titanic schildert Professor Lehmann sehr treffend in 100 Jahre Titanic!

Bolzen-Verdrehsicherung

Sind Bolzen höher belastet oder/und schmierbar ausgelegt, dürfen sie sich im Allgemeinen nicht verdrehen. Einerseits sollen die Schmierbohrungen nicht im Pressungsbereich zu liegen kommen, andererseits darf die Kerbwirkung dieser Bohrungen nicht in die höchstbelasteten Randfasern gelangen. In der Praxis finden sich, abgesehen vom klassischen Achshalter, die unterschiedlichsten Lösungen, oftmals mit Schweißungen und Bohrungen, die nachteilig für die (Dauer-)Festigkeit sind. Viele Ausführungen könnten als quasi Werknormen betrachtet werden, denen man die Vorlieben und Möglichkeiten früherer (eigener) Fertigungsmöglichkeiten ansieht! Die vorgeschlagene Ausführung der Bolzen-Verdrehsicherung geht – angenähert durch einfache Kreisbögen – vom Prinzip der geschlossenen Epizykloide und Hypozykloide (Hypotrochoide) aus. Deren Verwandte in Form des Innensechsrunds (Torx) und der Polygonprofile sind bekannt. Es liegt also ein mehrfacher Formschluss vor, der gedrungen bleiben kann und somit wenig Zerspanungsvolumen nach sich zieht, wobei obig erwähnte Schweißungen und Bohrungen samt deren Nachteilen entfallen. Die Ausführungsmöglichkeiten wurden bereits umfangreich mittels Excel (Optimierung via Solver) und CAD beleuchtet. Dies und Prinzip-Skizzen samt mathematischer Herleitungen können zur Findung einer bestmöglichen Ausführung zur Verfügung gestellt werden.

Obiges ist die Beschreibung eines am 18.01.2017 ans ASI übermittelten Projektantrags, dem folgendes Schicksal beschieden war:
“Das Komitee 029 hat in seiner 629. Sitzung, am 21. Juni 2017 folgendes bzgl. Ihres Projektantrages beschlossen: Da dieses Normprojekt derzeit keine Marktrelevanz aufweist und sich auch keine weiteren Stakeholder für eine Beteiligung an der Mitwirkung eines derartigen Normprojektes während der Einspruchsphase gemeldet haben, ist das Komitee 029 der Meinung, dieses Vorhaben nicht zu starten. Es wird daher einstimmig beschlossen, den Projektantrag nicht in das Arbeitsprogramm aufzunehmen und daraus folgend kein Normprojekt zu starten.”

Da die “Beschreibung, was sein würde, wenn die Norm/ONR nicht er- oder überarbeitet wird” lautet: “Dann würde ich meine Erkenntnisse als bereits vorliegende Excel-Berechnungen auf meiner privaten Homepage www.excelution.at präsentieren.”, biete ich für Interessenten 2 Downloads an:

Die Excel-Datei enthält, ausgehend von der einst selbst entwickelten singulären Parabel, die mehrfachen Zykloiden und deren Vereinfachungen, wobei der Sonderfall als “einfachste” Form auch für die optimierte Auslegung zur Verfügung steht:

Die STEP-Baugruppen-Datei beinhaltet dazu alle 5 Varianten, wie sie in der Excel-Datei optimiert wurden. Die Ausführung ist dabei die – zumindest für mich – denkbar einfachste, da die Verdrehsicherung zugleich die Aufgabe der Lagerung übernimmt (Dicke t muss entsprechend erhöht werden) und der Kopf durch einen Sprengring nach DIN 5417 für Wälzlager gemäß DIN 616 gebildet wird. Wenn die dafür erforderlichen Toleranzen nicht (wirtschaftlich) umgesetzt werden können, oder ein (fixer) größerer Kopf benötigt wird, dann braucht es eine entsprechende Aufgabenteilung:

Linie glätten 3

Wenn es um Kurvenverläufe geht, dann baue ich immer ein Gerüst, das gleichmäßig gerastert so fein wie nötig aber so grob wie möglich ist. Bei Optimierungen ist aber zufolge ständiger Veränderungen, insbesondere bei Verwendung des Solvers, nicht abzusehen, wo Stützpunkte gebraucht werden. Um Zwischenwerte und insbesondere Extrema in ausreichender Genauigkeit zu erhalten, kann man Werte der geglätteten Linie eines Punkt (XY)-Diagramms verwenden. Mittels Linie glätten konnte ich das umsetzen, ergänzt um Steigungen (primär für Extrema) durch Linie glätten 2.
Für den überwiegenden Bereich der geglätteten Linie ist dies durchaus praktikabel, aber die Segmente an beiden Enden präsentieren sich unbefriedigend! Dazu muss man wissen, dass der verwendete Catmull-Rom-Spline segmentweise immer 4 Punkte zu dessen Berechnung benötigt, wovon an diesen Enden einer fehlt. Die Excel-Entwickler bei Microsoft haben das sehr einfach gelöst, indem sie den jeweils vorletzten Punkt am letzten gespiegelt und damit den mathematisch unerlässlichen Hilfspunkt erzeugt haben. Dadurch ergibt sich am Endpunkt immer eine Tangente in Richtung des vorletzten Punktes, was wiederum ein Prinzip dieses Splines ist, dass der Vektor durch die beiden Nachbarpunkte die Tangentenrichtung vorgibt.
Eine bessere Wahl des Hilfspunkts könnte Abhilfe schaffen, wobei das Prinzip natürlich unangetastet bleiben soll. Eine Quadratische Bézierkurve bietet prinzipiell alles Wünschenswerte, mit dem Schönheitsfehler, dass von deren 3 bestimmenden Punkten einer nicht auf der Kurve liegt! Aber die Funktionsgleichung lässt sich so umformen, dass unser Kurvenpunkt jenen des Kontrollpolygons bestimmt. Dabei muss für die Beibehaltung obigen Tangentenprinzips der Parameter t = 0,5 gesetzt sein.
Der Schenkel des Kontrollpolygons zum Endpunkt ist dessen Tangente. Spiegelt man nun den vorletzten Punkt mittels Spiegelungsmatrix an der Tangentennormalen durch den Endpunkt, dann ergibt sich der Verlauf der geglätteten Linie deutlich verbessert, wobei das Prinzip der Tangentendefinition wiederum erfüllt ist!
Linie glätten und Linie glätten 2 wurden um diese Option ergänzt.
Die folgende Datei zeigt das erläuterte Prinzip durch 3 frei wählbare Punkte, was den Spieltrieb anstacheln sollte:

Linie glätten 3

PS: Sollte jemand eine bessere Lösung parat haben, dann bitte her damit! Vielleicht kann man sogar Microsofts Excel-Entwickler zur Implementierung animieren?!

Take it easy

Bei einem Treffen mit ehemaligen Kollegen lernte ich meinen Nachfolger kennen, der sich gerade für ein Spiel interessierte. Und zwar suchte er nach einer Bestätigung, dass bei Take it easy die maximal mögliche Punktezahl tatsächlich 307 ist. Ohne vorliegenden Beweis und bei theoretisch maximal 339 Punkten können durchaus Zweifel aufkommen. Angesichts 270.061.246.290.137.702.400.000 Möglichkeiten (Kombination ohne Wiederholung von 19 aus 27 Steinen und Permutation dieser 19 Steine) erscheint ein Durchprobieren mit heutiger Rechnerleistung aussichtslos!
Meine kühne Behauptung: Eine bessere Lösung als jene 16 mit 307 Punkten ist gleichfalls nur mit durchgehend gleichen Zahlen in den Spalten und den Haupt- und Nebendiagonalen machbar!
Kombinatorik ist keine meiner Stärken, weswegen ich anfangs irrtümlich von “nur” 13.824 (= 24³) derartigen Lösungen ausging, die weitere Beschäftigung führte dann allerdings zu einem Lösungsumfang von 729.000 (= 90³, um den Faktor 53 größer 😳 ).
Im 1. Schritt versuchte ich den Solver auf das Problem anzusetzen, wobei ich wegen der “Sprunghaftigkeit” erstmals den Evolutionären Algorithmus einsetzen musste. Mit den Standardeinstellungen wurde – ausgehend von verschiedenen 307er-Anordnungen – vermeldet: “Solver kann die aktuelle Lösung nicht verbessern. Alle Nebenbedingungen wurden eingehalten.” Änderung einer Zahl, wodurch nur ein einziger Stein doppelt verwendet wurde, ergab: “Solver konnte keine machbare Lösung finden.” Das Ändern von Optionen, insbesondere das Hochschrauben der “Größe der Grundgesamtheit” auf 10.000, brachte – abgesehen von “leerer” Rechenzeit – nichts, weswegen der Versuch abgebrochen wurde!
Der 2. Schritt war die Programmierung der Prozedur Lösungen, die 3 verschachtelte Schleifen abarbeitet und zulässige Lösungen in einem eigenen Tabellenblatt einträgt.

Die folgende Datei enthält 2 Tabellenblätter:

  •  Spiel zeigt Take it easy im obig beschriebenen Modus samt einer Liste aller Steine und deren Verwendung mittels Bedingter Formatierung;
  •  Liste enthält alle 1.296 gefundenen Lösungen, wobei diese via Befehlsschaltfläche in Spiel angezeigt werden können.

Bemerkung: Wegen der verwendeten Symbolsätze der Bedingten Formatierungen nicht als 97-2003-Version.

Take it easy-1.00