Geyer-Punkte

Mein Nachname in Geyer-Punkte soll nur den Kontext zu den Bessel-Punkten herstellen, denen ich bereits einen Beitrag gewidmet habe. Die genialen Herren Friedrich Wilhelm Bessel und George Biddell Airy sind jene Riesen, auf deren Schultern ich dabei stehe!
Die speziellen Punkte lassen sich auf einem 2-fach gelagerten und somit statisch bestimmten Balken allesamt analytisch explizit bestimmen. Aber mit bloß 2 Auflagern dürfte man bei längeren Balken kein Auslangen mehr finden. Bei 3 Auflagern könnte es für einen der Fälle noch eine exakte Lösung geben, darüber hinaus dürfte man aber auf verlorenem Posten sein. Also braucht es einen universellen Ansatz!
Hier kommt der in Excel integrierte Solver ins Spiel. Mit ihm lassen sich die Auflagerkoordinaten solange variieren, bis sich die gewünschten Randbedingungen in vorgegebener Genauigkeit einstellen.
Bei 2 Auflagern ergeben sich folgende Lösungen:

  • Drehmomentenfreie Lagerung (horizontale Tangente an den Auflagern, minimale mittlere Durchbiegung und somit minimale Verzerrungsenergie; bei mehr als 2 Auflagern ergeben sich deswegen gleichzeitig die kleinstmöglichen maximalen Biegemomente an allen Auflagern, die doppelt so groß sind als jene dazwischen)
  • Airy-Punkte (horizontale Tangente an den Enden)
  • Normative Festlegung (gleiche Durchbiegung an den Enden und in der Mitte)
  • Geringste maximale Randfaserspannung (gleicher Biegemomentbetrag an den Lagern und in der Mitte)

Bei mehr als 2 Auflagern offerieren sich die Airy-Punkte in 2 Varianten, und für die entfallende geringste maximale Randfaserspannung kommen gleiche Auflagerkräfte hinzu:

  • 2 mögliche Airy-Punkte: Horizontale Tangente an den Enden und
    – gleiche Durchbiegung in den Mitten oder
    – horizontale Tangenten an den inneren Auflagern
  • Gleiche Auflagerkräfte

Alle nicht unbedingt auf dem Tabellenblatt ersichtlich sein müssenden Berechnungen wurden per Namen in den Hintergrund verbannt. Für die Definition von Vektoren und Matrizen wurde wiederum ein “very hidden” Tabellenblatt “X” und INDEX in Bezugsversion benutzt. Den Rechengang möchte ich nicht detailliert beschreiben, nur so viel:

  • Die Berechnung der Auflagerkräfte fußt auf der Lösung eines Gleichungssystems
  • Zur Bestimmung von Polynom-Nullstellen dient die benutzerdefinierte Funktion POLYNOMIAL1TO4ZERO
  • Die benutzerdefinierten Funktion INDEX2 wird vor allem für Namen gebraucht, die zufolge eines Vektors mehrere Werte an Diagramme übergeben können müssen
  • Die Arrayformel für x(y”’ = 0) musste mittels eines Tricks zur Aktualisierung gezwungen werden, nämlich der Addition einer mit 0 multiplizierten volatilen Funktion: 0*HEUTE()
  • Die Lösung mittels Solver erfolgt via Befehlsschaltfläche, der der Makro “Optimierung” zugeordnet ist

Es wäre interessant zu erfahren, welche Anwendungen durch meine Berechnung abgedeckt werden können! Deswegen stelle ich vorerst eine Variante für maximal 5 Auflager zum Download bereit. Wer will und kann, möge sich die Datei selbst erweitern, alle anderen sind aufgerufen, mich hinsichtlich ihrer Anforderungen gerne zu kontaktieren:

Versionstabelle

Belastungsverteilung

Man steht am Anfang eines Projekts und hat nicht viel mehr als die an der Kraftübertragung beteiligte Masse, die Belastung und deren Angriffspunkt sowie die Auflagerpunkte. Oder man will schnell die Belastungsverteilung in einem statisch unbestimmten System abschätzen. Wenn weder FE-Programm noch Berechnungsingenieur zur Verfügung stehen, muss trotzdem ein möglichst sicherer nächster Schritt gesetzt werden können!
Diese Abschätzung via Excel basiert auf folgenden Annahmen:

  • Vom Angriffspunkt der Belastung (Kraft oder/und Moment) gehen bis zu 10 Balken zu den Auflagerpunkten, an denen nur Kräfte übertragen werden können;
  • Die an der Kraftübertragung beteiligte Masse führt über die Dichte und die Gesamtlänge der Balken zu einem für alle gleichen runden Querschnitt;
  • Dieser Querschnitt hat eine definierte Zug/Druck- und Biegenachgiebigkeit (Kragträger).

Folgende Ergebnisse werden geliefert:

  • Verschiebungen und Verdrehungen am Angriffspunkt der Belastung (durch die Annahme eines relativ nachgiebigen Vollquerschnitts sind die errechneten Werte konservativ);
  • Lagerkräfte an bis zu 10 Auflagerpunkten (Aktionskräfte);
  • Schraubenkräfte an den Auflagerpunkten, wobei deren Axial- und Querkomponenten durch die Wahl eines jeweils geeigneten Normalvektors eingestellt werden können.

Als visuelle Überprüfung steht eine Darstellung mit 8 vordefinierten Ansichten zur Verfügung, wobei die 3 Drehwinkel frei eingestellt werden können.

Die folgende Datei liefert umso bessere Abschätzungen, je näher die betreffende Struktur den Annahmen kommt, nämlich quasi einer Spinne gleicht, aus deren kleinem Körper bis zu 10 gleich dicke, gelenkfreie Beine ragen, deren Füße sich momentfrei abstützen:

Belastungsverteilung

Trendlinienfolge

Für die Definition der Kennlinie des nichtlinearen Federelements COMBIN39 in ANSYS (Workbench) kann man bis zu 20 Punkte angeben. Will man dafür Daten aus einer Messung oder eine vorgegebene Funktion in Segmente unterteilen, dann kann Excel bei einem Segment (2 Punkte) mit einer linearen Trendlinie noch behilflich sein. Bei zwei Segmenten (3 Punkte) gibt es schon Unklarheiten bezüglich der optimalen Position des Knickpunktes (mittlerer Punkt). Verschiedene Personen würden zu unterschiedlichen Ergebnissen kommen und man selbst hinge von der Tagesverfassung ab! Mehr als 3 Punkte sind so nicht mehr handhabbar.
Gesucht ist also eine Vorgehensweise, die immer zum selben “optimalen” Ergebnis führt. Wenn man abschnittsweise lineare Trendlinien aufeinander folgen lässt – also eine Trendlinienfolge bildet – dann müsste der dann entstandene Polygonzug reproduzierbar sein. Und das aus einer Trendlinie resultierenden Bestimmtheitsmaß samt gewählter Gewichtung sollte zum immer gleichen Optimum führen!
Damit lassen sich ganz allgemein Datenreduktion und Diskretisierung erzielen.
Die folgende Datei zeigt anhand von 4 Beispielen, wie man – unter Angabe der gewünschten Segmentanzahl und -punkte (Mindestanzahl der Punkte pro Segment) und der Optionen eines vorgegebenen Schnittpunkts (Ordinatenabschnitt=0), einer wählbaren Gewichtungsart, der Code-Ausgabe für FEM und der sehr empfehlenswerten Animation (Visualisierung von Aufteilung und Optimierung) – eine Trendlinienfolge erzeugt:

Trendlinienfolge