Bessel-Punkte

Bei der symmetrischen Position der Auflager von gleichmäßig belasteten Balken wird leider gerne übersehen, dass es Optima für verschiedene Kriterien gibt:

Geringste Längenverkürzung der neutralen Faser

Dieses Kriterium erfüllen die sogenannten Bessel-Punkte. Dazu wird in erster Näherung die Ableitung des Integrals des Quadrats der Steigung der Biegelinie zu Null gesetzt, um das Optimum zu finden, was zu einem Polynom 5. Grades \( 2 \left ( \frac a L \right ) ^5 + 35 \left ( \frac a L \right ) ^4 – 40 \left ( \frac a L \right ) ^3 + 5 \left ( \frac a L \right ) ^2 + 5 \frac a L – 1 = 0 \) führt. Entweder man löst dieses numerisch oder man weiß eine der Nullstellen mit \( \frac a L = 0{,}5 \), wenn beide Auflager in der Mitte des Balkens “verschmelzen”, dann kann das mittels Polynomdivision reduzierte Polynom \( 2 \left ( \frac a L \right ) ^4 + 36 \left ( \frac a L \right ) ^3 – 22 \left ( \frac a L \right ) ^2 – 6 \frac a L + 2 = 0 \) exakt gelöst werden: \[ \frac a L \approx 0{,}22031 \]

Weitere Kriterien führen zu Polynomen 2. und 3. Grades \( \left( n \right) \) der allgemeinen Form \( \sum_{i = 0} ^n k_i x^i = 0 \). Deren Nullstellen folgen aus
\[ \left( \frac a L \right) _{1,2} = \frac{- k_1 \pm \sqrt{k_1 ^2 – 4 k_2 k_0}}{2 k_2}\] und \[ \left( \frac a L \right) \begin {Bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end {Bmatrix} = \begin {Bmatrix} – \\ + \\ – \end {Bmatrix} \frac{2 \sqrt{\left | k_2 ^2 – 3 k_1 k_3 \right |}}{3 k_3} \cos \left[ \frac{1}{3} \arccos \left ( \frac{9 k_1 k_2 k_3 – 27 k_0 k_3 ^2 -2 k_2 ^3}{2 \sqrt {\left | k_2 ^2 – 3 k_1 k_3 \right | ^3}} \right ) \begin {Bmatrix} -1 \\ +0 \\ +1 \end {Bmatrix} \cdot \frac{\pi}{3} \right ] – \frac{k_2 / k_3}{3} . \]
Aus mehreren reellen Nullstellen muss die physikalisch sinnvolle gewählt werden, wobei Polynom-Nullstellen behilflich sein kann!

Geringste Längenveränderung an der Oberfläche

Dieses Kriterium erfüllen die sogenannten Airy-Punkte, die horizontale Tangenten an den Enden fordern: Das Polynom \( 6 \left( \frac{a}{L} \right) ^2 – 6 \frac{a}{L} + 1 = 0 \) hat 2 reelle Nullstellen, die daraus sinnvolle ist:
\[ \frac a L = \frac {3 – \sqrt {3}} 6 \approx 0{,}211325 \]

Minimale Biegung

Als Kriterium gilt gleiche Durchbiegung in der Mitte und an den Enden: Das Polynom \( 32 \left( \frac a L \right) ^3 – 24 \frac a L + 5 = 0 \) offeriert 3 reelle Nullstellen, die darin gesuchte ist:
\[ \frac a L \approx 0{,}223149 \]

Null-Biegung in der Balkenmitte

Das Polynom \( 16 \left( \frac a L \right) ^4 + 64 \left( \frac a L \right) ^3 – 96 \left( \frac a L \right) ^2 + 40 \frac a L – 5 = 0 \) kann wegen der doppelten Nullstelle \( \frac a L = 0{,}5 \) auf \( 4 \left( \frac a L \right) ^2 + 20 \frac a L – 5 = 0 \) reduziert werden. Dieses bietet 2 reelle Nullstellen, die darin richtige ist:
\[ \frac a L = \frac {\sqrt {30} – 5} 2 \approx 0{,}238613 \]

Null-Biegung am Balkenende

Das Polynom \( \left( \frac a L \right) ^3 + 6 \left( \frac a L \right) ^2 – 6 \frac a L + 1 = 0 \) hat 3 reelle Nullstellen, die darin passende ist:
\[ \frac a L \approx 0{,}214175 \]

Minimale mittlere Durchbiegung

Das Kriterium erfordert minimale Verzerrungsenergie und bedeutet gleichzeitig horizontale Tangenten an den dadurch momentfreien Auflagern: Das Polynom \( 4 \left( \frac{a}{L} \right) ^3 + 6 \left( \frac{a}{L} \right) ^2 – 6 \frac{a}{L} + 1 = 0 \) liefert 3 reelle Nullstellen, die davon relevante ist:
\[ \frac a L \approx 0{,}224745 \]

Geringste maximale Biegespannung

Dieses Kriterium fordert betragsmäßig gleiches Biegemoment in der Mitte und an den Auflagern: Das Polynom \( 4 \left( \frac{a}{L} \right) ^2 + 4 \frac{a}{L} – 1 = 0 \) bietet 2 reelle Nullstellen, die darunter passende ist:
\[ \frac a L = \frac {\sqrt {2} – 1} 2 \approx 0{,}207107 \]

Die folgende Datei zeigt dies in Diagrammen für die Durchbiegung und das Biegemoment. Deren Verhältnisse zur Lagerung an den Enden wird errechnet. Eine Animation macht das ganze besonders anschaulich:

Versionstabelle

Sollte jemand mit 2 Auflagern nicht das Auslangen finden, dann bieten sich die Geyer-Punkte an! 😉