Geyer’sche Korbbögen

Als Maschinenbauer war mir der Korbbogen vor allem als vorteilhafter Übergang an Absätzen bekannt, weswegen ich in Kerbformoptimierung mit Zugdreiecksmethode darauf verwies. Danach folgte die im Vergleich zum Korbbogen leichter handhabbare Kerbformoptimierung mit Ellipse mit der Konsequenz Ellipse approximiert durch Korbbogen, um zum Ausgangspunkt zurückzukehren. Schließlich landete ich sogar in der Architektur mit Korbbögen gemäß Wikipedia.
Eingeschränkte und für mein Empfinden teils unschöne Lösungen, fehlerbehaftete Näherungskonstruktionen und das Fehlen von plausiblen Lösungen für mehr als 5 Mittelpunkte haben mich veranlasst, nach einem mathematischen Standard zu suchen. Und was sollte bei mir anderes dabei herauskommen als eine Lösung mittels Excel und insbesondere Solver?!

Waagrechter Korbbogen
Der Mischung aus Halbkreis- und Segmentbogen sieht man die Ähnlichkeit zur Ellipse förmlich an! Eine möglichst “runde” Annäherung daran sollte das Ziel sein.
Für 3 und 5 Mittelpunkte finden sich z. B. in Wikipedia Konstruktionsdetails, wobei der von mir entdeckte Fehler bei 5 Mittelpunkten mittlerweile vermerkt ist.
Otto Luegers Lexikon der gesamten Technik und ihrer Hilfswissenschaften zeigt auch eine Konstruktion für mehr als 5 Mittelpunkte, die aber nur im Sonderfall stimmt.

Geneigter Korbbogen
Auch hier soll zumindest für mich eine Ellipse das Ideal sein, selbst wenn ich während meiner umfangreichen Recherche keinen Hinweis darauf fand!
Unter den theoretisch unendlich vielen Ellipsen gibt es genau eine, die ein maximales Verhältnis aus kleiner zu großer Halbachse aufweist, quasi am “rundesten” ist.
Um diese zu finden, wird das Verhältnis \( v = \frac b a \) eingeführt, was die übliche Ellipsengleichung \( y = b \sqrt{ 1 – \left( \frac x a \right) ^2 } \) auf die Form \( y = v \sqrt{ a ^2 – x ^2 } \) bringt.
Der Satz des Pythagoras liefert mit Steigung \( H \) und Spannweite \( S \) den unbekannten Ellipsendurchmesser \( d = \sqrt{ S ^2 + H ^2 } \). Dieser ergibt sich auch zu \( d = 2 \sqrt{ x ^2 +y ^2} = 2 \sqrt{ x ^2 + v ^2 \left( a ^2 – x ^2 \right) } \), woraus durch Gleichsetzung \( x \) gewonnen werden kann.
Der Tangens des Verdrehwinkels der Ellipse zur Waagrechten ist \( \tan \alpha = \frac H S \), wobei die Winkelsumme eines Dreiecks mit Steigungswinkel \( \beta \) und Durchmesserwinkel \( \gamma \) \( \alpha = \frac \pi 2 – \left( \beta + \gamma \right) \) festlegt.
Aus deren Tangens \( \tan \beta = \frac { 2 v x }{ \sqrt{ a ^2 – x ^2 } } \) und \( \tan \gamma = \frac { v \sqrt{ a ^2 – x ^2 } }{ x } \) mit ersetztem \( x \) folgt mittels Summensatz schließlich das Verhältnis \( v_{ \left( a \right) } = \frac{ S \sqrt{ 4 a ^2 – H ^2 – S ^2 } }{ 2 a \sqrt{ 4 a ^2 – S ^2 } } \) als Funktion von \( a \) mit \( a > \frac{ \sqrt{ H ^2 + S ^2 } }{ 2 } \).
Eine der 4 Nullstellen der Ableitung liefert das gesuchte Extremum der großen Halbachse \( a = \sqrt{ H ^2 + S ^2 + H \sqrt{ H ^2 + S ^2} } \). Für die kleine Halbachse folgt \( b = \frac S { 2 \sqrt{ 1+ \frac H { \sqrt{ S ^2 + H ^2 } } } } \) und für den Verdrehwinkel \( \alpha = \arctan \left( \frac{ H + \sqrt{ S ^2 + H ^2 } } S \right) \).

Rechengang:

  • Beim waagrechten Korbbogen wird “nur” eine Hälfte berechnet
  • Das Verhältnis aufeinander folgender Radien ist gleich
  • Für dieses Verhältnis wird vom Solver das Minimum eruiert
  • Das Verhältnis aufeinander folgender Mittelpunktswinkel ist dabei ebenso gleich
  • Beim waagrechten Korbbogen mit 3 und dem geneigten mit 2 Mittelpunkten werden die optimalen Werte vorgegeben

Ergebnisse:

  • Radienverhältnis
  • Große und kleine Halbachse und Drehwinkel der Ellipse
  • Bogenlänge und Fläche (bis zur Kämpferlinie)
  • Koordinaten des Gipfel- und Scheitelpunkts (bei geneigtem Korbbogen)
  • Normalabstand des Scheitelpunkts zur Kämpferlinie (bei geneigtem Korbbogen)
  • Radien
  • Mittelpunktswinkel und daraus Gesamtwinkel
  • Koordinaten der Mittel- und Übergangspunkte

Diagramm:

  • Ellipse (Idealisierung)
  • Astroide (Evolute der Ellipse als Summe aller Krümmungsmittelpunkte)
  • Mittelpunkte (deren Lage zur Astroide zeugt von Qualität der Näherung an Ellipse)
  • Punkte (Radienübergänge)
  • Kreisbögen
  • Gipfel- und Scheitelpunkt (bei geneigtem Korbbogen)

Die folgende Datei erlaubt die Berechnung eines waagrechten Korbbogens mit bis zu 11 und eines geneigten mit bis zu 6 Mittelpunkten. Wer allerdings den Rekord des Pont de Neuilly sprengen will, kann die Berechnung gerne erweitern! 😉
Ohne direkte oder indirekte Vorschrift für die Mittelpunktswinkel geht es übrigens nicht, da der Solver – so ein Schlingel aber auch! – zur Erreichung eines besseren Optimums Segmente eliminiert, indem er deren Mittelpunktswinkel gegen Null fährt.
Ein alternativer Ansatz gleicher Bogenlängen führt übrigens zu größeren Radienverhältnissen – für andere Ansätze bin ich jederzeit offen!
Für die Berechnung der Fläche bedurfte es der Benutzerdefinierten Funktion INDEX2 und fürs gefällige Diagramm Punkt (XY)-Diagramm unverzerrt.
Bei Änderung von Typ, Mittelpunkte, Spannweite oder Stichhöhe bzw. Steigung springt automatisch der Solver an, um das Optimum zu finden:

Ablesehilfe

Die COVID-19-Pandemie hat im Internet eine Unmenge an Tabellen hervorgebracht. Dabei ist mir angenehm aufgefallen, dass zumeist eine Ablesehilfe aktiv war, also diejenige Zeile mit dem Fokus hervorgehoben wurde.
Im Zuge eines Projektes hätte ich einst genau so etwas gebraucht. Da Excel das nicht anbot, hatte ich VBA zu Hilfe genommen und der ganzen Zeile der selektierten Zelle oben und unten einen Rahmen verpasst. Die beiden Linien störten die vorhandenen bedingten Formatierungen nicht, die ein Muster und Hintergrundfarben verwendeten. Ein Office-Update stieß sich aber offenbar daran, insbesondere wenn ein Filter die Zeile ausblendete, die beim Selektionswechsel wieder vom Rahmen befreit wurde. Beim Speichern hieß es dann, dass die Datei beschädigt sei!

Die Ablesehilfe war für die User aber so vorteilhaft, dass deren Weiterbestehen quasi Pflicht war! Die bereits vorhandenen bedingten Formatierungen waren die Lösung, auch wenn die Rahmen nicht mehr ganz so dick sein konnten. Im Nachhinein könnte man natürlich sagen, dass das gleich der bessere Ansatz gewesen wäre. Wie auch immer, die Robustheit dieser eingebauten Funktionalität sollte überdies jedem weiteren Update standhalten!

Eine gewisse Ablesehilfe wird seit Excel 2007 angeboten, da man seither Tabellen mit vordefinierten oder individuell definierbaren Tabellenformaten verwenden kann. Dabei hilft eine Abfolge von Zeilen mit heller oder keiner und dunklerer oder heller Füllfarbe. Das ließe sich ebenso mittels bedingter Formatierung erledigen, bis zu dieser Version standen allerdings “nur” drei zur Verfügung. Des Weiteren ist in Kompatibilitätsprobleme bei der bedingten Formatierung zu lesen: In Excel 97-2003 stellt die bedingte Formatierung ohne Beendigung bei Erreichen der Bedingung keine Option dar. D. h. die Formatierung endet nach der ersten erfüllten Bedingung, also je nach Reihenfolge “überdeckt” entweder die Ablesehilfe etwaige andere Formatierungen oder letztere “schlucken” erstere.

Die folgende Datei enthält zur Veranschaulichung meiner Lösung 9 Tabellen:

  • Für die Realisierung der bedingten Formatierungen wird die Funktion ZELLE(Infotyp; [Bezug]) verwendet, mit Infotyp “spalte” bzw. “zeile”, der optionale Bezug entfällt.
  • Damit die bedingten Formatierungen gesichert aktualisiert werden, braucht es in VBA die Subroutine Worksheet_SelectionChange mit dem Befehl Application.ScreenUpdating = True, bei mehreren Tabellenblättern kann man stattdessen auch Workbook_SheetSelectionChange verwenden.
  • Beim Einfügen von Zeilen oder Spalten wird die bedingte Formatierung bei allen Tabellen verlässlich angepasst. Beim Anfügen von Spalten bei vordefinierten Tabellen braucht die Formel gewöhnlich eine manuelle Anpassung!
  • Die linken Tabellen sind klassisch einfach, von oben nach unten ergänzt um bedingte Formatierungen mit (oben) Hintergrundfarbe, (mittig) oberem und unterem Rahmen und (unten) Schriftschnitt fett.
  • Die mittleren Tabellen enthalten mittels Bedingter Formatierung in den ungeraden Zeilen graue Hintergrundfarben sowie von oben nach unten eine dunklere Hintergrundfarbe, ein “Fadenkreuz” aus sich kreuzenden Rahmen und ein Muster. Das “Fadenkreuz” könnte im Falle eines hochgestellten Monitors oder/und kleiner Spaltenbreiten von Vorteil sein?!
  • Die rechten Tabellen sind jene, die seit Excel 2007 zur Verfügung stehen, wodurch man sich unterschiedliche Zeilenformatierungen sparen kann. Die ergänzenden bedingten Formatierungen entsprechen jenen der mittleren Tabellen, mit einem Unterschied: Sie “reagieren” nur noch, wenn sich die selektierte Zelle tatsächlich innerhalb des formatierten Bereichs befindet, was bei mehreren Tabellen sicherlich sinnvoll ist.

Bemerkung: Wegen des obig erwähnten Kompatibilitätsproblems nicht als 97-2003-Version.

Korbbögen gemäß Wikipedia

In Ellipse approximiert durch Korbbogen habe ich verschiedene Ansätze für einen Korbbogen mit 2 Radien bzw. 3 Mittelpunkten verfolgt. In Wikipedia fand ich unter Konstruktionsdetails dazu Konstruktionsvorschriften auch für ansteigende Ausführungen.
Mit dem Sketcher heutiger CAD-Programme kann man das natürlich problemlos nachvollziehen. Eine mögliche Abkürzung ist, die Radien als Parameter zu definieren.
Zu diesem Zwecke habe ich die Formeln der Radien für folgende Arten abgeleitet:

  • Korbbogen aus drei Mittelpunkten (Tabellenblatt M3):
    Ich war angenehm überrascht, hier meinen 4. Ansatz aus Ellipse approximiert durch Korbbogen anzutreffen, denn wenn man in den dortigen Formeln \( a \) durch \( \frac{ S }{ 2 } \) und \( b \) durch \( H \) ersetzt, dann ergeben sich \( r = \frac{ \left( \frac S 2 \right)^2 + H^2 – \left[ \left( \frac S 2 \right) – H \right] \sqrt{ \left( \frac S 2 \right)^2 + H^2 } }{ S } \) und \( R = \frac{ \left( \frac S 2 \right)^2 + H^2 + \left[ \left( \frac S 2 \right) – H \right] \sqrt{ \left( \frac S 2 \right)^2 + H^2 } }{ 2 H } \)!
  • Korbbogen aus fünf Mittelpunkten (Tabellenblatt M5):
    Diese einfach erscheinende Konstruktion hat mich trotz Sketcher überfordert, bis mir klar wurde, dass es sich um eine Näherung handelt, was den Mittelpunkt \( M_4 \) bzw. \( M_5 \) anbetrifft. Dank Herrn Colling enthalten die Konstruktionsdetails der Grafik mittlerweile einen entsprechenden Hinweis. Laut Darstellung wäre \( y_{M_{4,5}} = – \frac L 2 = \frac 1 { \sqrt{ 2 } } \left( H – \frac S 2 \right) \), was streng genommen nur beim Sonderfall eines Halbkreises zutrifft, sonst aber relativ kleine Abweichungen aufweist, die man mit Zirkel und Bleistift wohl nicht aufdeckte. Exakt ist \( y_{M_{4,5}} = \frac 3 4 \left( H – \frac S 2 \right) \), was wegen des Vorliegens von \( \frac S 2 – H \) über ähnliche Dreiecke leicht eruiert werden kann! Der im Tabellenblatt eingefügte Screenshot des Sketches dieser Konstruktion kann mit einem Klick darauf vergrößert und wieder zurückgesetzt werden. Die Radien ergeben sich zu \( r_K = \sqrt{ 2 } H – \left( \sqrt{ 2 } – 1 \right) \frac S 2 \), \( r_M = \frac{ 2 \sqrt{ 2 } H + \left( 4 – \sqrt{ 2 } \right) S } 8 \) und \( r_G = \sqrt{ 2 } S – \left( 2 \sqrt{ 2 } -1 \right) H \).
  • Korbbogen; einhüftig (Tabellenblatt A):
    Diese ansteigende Ausführung ist mein Favorit, da sie harmonisch ganz einfach wie ein schräg gestellter Korbbogen wirkt! Überdies kann \( H \) beliebig gewählt werden. Die Radien folgen zu \( r = \frac{ S^2 + H^2 – H \sqrt{ S^2 + H^2 } }{ 2 S } \) und \( R = \frac{ S^2 + H^2 + H \sqrt{ S^2 + H^2 } }{ 2 S } \).
  • Steigender Bogen (Tabellenblatt B):
    Braucht weniger Höhe als mein Favorit, wirkt deswegen in meinen Augen aber auch etwas “eckiger”, wobei \( H \le S \) gilt. Die beiden Radien ergeben sich einfach als \( r = \frac{ S – H } 2 \) und \( R = \frac{ S + H } 2 \).
  • Einhüftiger Korbbogen (Tabellenblatt C):
    \( H \) ist hier nicht beliebig wählbar, sondern eine Funktion von \( S \): \( H = \frac{ 3 + 4 \sqrt{ 2 } }{ 23 } S \). Dann ergeben sich die 4 Radien zu \( r_1 = \frac{ 8 + 3 \sqrt{ 2 } }{ 46 } S \), \( r_2 = \frac{ 18 + \sqrt{ 2 } }{ 46 } S \), \( r_3 = \frac{ 28 – \sqrt{ 2 } }{ 46 } S \) und \( r_4 = \frac{ 38 – 3 \sqrt{ 2 } }{ 46 } S \).
  • Schwanenhals (Tabellenblatt D):
    Eine aufwendige Konstruktion samt stark eingeschränktem Verhältnis \( \frac H S \), innerhalb dessen diese gefällig aussieht, sehe ich als nachteilig. Für die obendrein unpassenden Kurvenenden im Diagramm kann sie nichts, denn das liegt an der Microsoft’schen Herangehensweise, wie ich in Linie glätten 3 mit Alternativvorschlag kritisiert habe!

Die obig erwähnten Tabellenblätter sind in einer Datei zusammengefasst, wobei man in 3M und 5M als User spielen kann.
5M bietet hier eine Besonderheit, da zusätzlich folgende Ansätze zur Auswahl stehen:

  • \( Min \left( r_M / r_K \right)\ \&\ r_M / r_K = r_G / r_M \): Möglichst kleine Radienänderungen
  • \( \alpha_K = \alpha_M = \alpha_G \): Gleiche Winkel
  • \( Min(s_K)\ \&\ s_K = s_M = s_G \): Gleiche Bogenlängen
  • \( Min(t)\ \&\ r_M / r_K = r_G / r_M \): Kürzeste Laufzeit bei möglichst kleinen Radienänderungen (quasi eine auf den Kopf gestellte Brachistochrone)
  • \( Min(t) \): Kürzeste Laufzeit
Korbbogen aus fünf Mittelpunkten (Tabellenblatt M5)

Ellipse approximiert durch Korbbogen

Im Beitrag Kerbformoptimierung mit Ellipse wird also die Ellipse als mögliche vorteilhafte Kerbform untersucht.
Skizzierer gängiger CAD-Systeme bieten heutzutage die Möglichkeit, vielfältige Kurven als parametrisierte Funktionen einzugeben. Damit wären also auch der im Beitrag von mir erwähnte Kosinus hyperbolicus, wahrscheinlich mit der Entsprechung \( \cosh = \frac { e^x + e^{ -x } }{ 2 } \), die Zykloide und selbst die Klothoide mittels Reihenentwicklung möglich. Das gilt gleichermaßen für die Traktrix und die von Professor Mattheck angeführten Kerbformen.

Nach dem Grundsatz “So wenig wie möglich, so viel wie nötig” mag aber auch eine Näherung gute Dienste leisten, wobei ich an den Korbbogen mit zwei Radien denke, wodurch gilt: \( R = \frac { a^2 + b^2 -2 a r }{ 2 \left( b – r \right) } \). Sollten zwei nicht reichen, dann sind zwar drei in der Architektur üblich und mehr davon denkbar, aber nicht ratsam. Entweder passt der Ansatz nicht oder man handelt sich einen unbeherrschbaren Sketcher ein!

Im Buch Maschinenelemente (H. Roloff, W. Matek, 7. Auflage, 1976), das ich noch aus HTBLA-Zeiten mein Eigen nenne und nutze, findet sich zum Kapitel Achsen, Wellen und Zapfen im Unterkapitel Allgemeine Gestaltungsrichtlinien folgende Empfehlung: Festigkeitsmäßig sehr günstig, konstruktiv jedoch nicht immer ausführbar, ist der Übergang mit zwei Rundungsradien, einem Korbbogen: \( r \approx d / 20 \), \( R \approx d / 5 \).
Das entspricht also einem fixen Verhältnis \( R / r \approx 4 \), was \( a = \frac { 2 }{ 7 } \left( 2 + 3 \sqrt { 2 } \right) b \approx 1{,}7836 \cdot b \) ergibt.

Sollen sich \( R \) und \( r \) den Halbachsen \( a \) und \( b \) variabel anpassen, dann könnten folgende Kriterien zielführend sein:

  • Gleicher Flächeninhalt
  • Gleicher Umfang
  • Gleiche Abweichung der Scheitelkrümmungsradien

Man kann die Halbachsen allerdings auch bloß als verfügbaren Raum sehen. Dann lässt sich für das Verhältnis \( r / R \) ein Maximum finden, wodurch gilt: \( r = \frac{a^2 + b^2 – \left( a – b \right) \sqrt{ a^2 + b^2 } }{ 2 a } \) und \( R = \frac{a^2 + b^2 + \left( a – b \right) \sqrt{ a^2 + b^2 } }{ 2 b } \). Ein deutlich größeres \( r \) als der Hauptscheitelkrümmungsradius bei nur geringfügig kleinerem \( R \) im Vergleich zum Nebenscheitelkrümmungsradius könnte vorteilhaft sein.

Für den Umfang der Ellipse kann man Näherungen verwenden, hier kam aber das Vollständige elliptische Integral II. Art als Benutzerdefinierte Funktion zur Anwendung. Überdies brauchte es wegen der transzendenten Gleichungen für Werte des Korbbogens die Zielwertsuche.
Die folgende Excel-App berechnet die angegeben Fälle automatisch bei sich ändernden Halbachsen. Fürs Spielen gibt es einen eigenen User-Fall. Die Ergebnisse werden in einem Diagramm unverzerrt dargestellt, wobei man mit den veränderbaren Zwischenpunkten nicht zu sparsam umgehen sollte:

Kerbformoptimierung mit Ellipse

Während der Beschäftigung mit der Kerbformoptimierung mit Zugdreiecksmethode fand ich auch das im Jahre 2008 vom Karlsruher Institut für Technologie (KIT) herausgegebene Poster Die Methode der Zugdreiecke im Vergleich mit anderen Kerbformen.
Einer der Autoren ist Professor Claus Mattheck, und so nimmt es nicht wunder, dass die drei Kerbformen 45°-Kreissegment, Zugdreieck und Tangens, deren Quellen seinen Namen tragen, auch einen Dreifach-Sieg einfahren!

Die erste seiner Kerbformen hat es schon im Namen, bei der Methode der Zugdreiecke ist es anempfohlen und der Steigungswinkel des Tangens bei 0° (gar ein Grund für diese Kerbform?) ist – nämlich 45°. Der Effekt des scharfen Anschlusses wird euphemistisch “kleine Spannungsspitze” genannt, der tatsächlich größere Bauraum durch einen fertigungsbedingten Radius unter den Teppich gekehrt. Bei Einhaltung des gleichen Bauraums ergeben sich also zwingend größere Spannungsüberhöhungen als angegeben! Da hilft dem 45°-Kreissegment der vermeintliche Vorteil des geringen \( L_{ax} / L_{rad} = 2{,}4 \) auch nichts mehr.

Warum auch immer der Tangens einer Untersuchung unterzogen wurde, für mich wären Kosinus hyperbolicus als Kettenlinie, gespitzte Zykloide wegen enthaltener Brachistochrone und Klothoide mit Proportionalität von Krümmung zur Bogenlänge jedenfalls naheliegender gewesen.
Bei den Kerbformen mit tangentialem Anschluss gefällt mir deswegen die Traktroide, weil auch sie “natürlich wirkt”. Richtigerweise müsste es Traktrix heißen (die Bemaßung der dargestellten Zuglasche suggeriert einen Rotationskörper, was sie aber nicht ist).
Zu R. V. Baud und P. Grodzinski sei angemerkt, dass ihre Kerbformen eingedenk des Alters und obig angemerkter Beschönigungen nach wie vor konkurrenzfähig sind, obzwar erstere mit \( L_{ax} / L_{rad} = 5{,}0 \) zu kämpfen hat!
\( L_{ax} / L_{rad} \) sollte bei gegebenem \( L_{rad} / d \) optimalerweise möglichst klein sein, weswegen die Angabe eines einzigen Wertes für alle drei Fälle im Gesamtverhältnis \( 1:10 \) fragwürdig erscheint.

Dies hat sich im Zuge der Beschäftigung mit der Ellipse auch bewahrheitet:

  • Die dargestellten Spannungsüberhöhungen von ca. \( 4{,}1 \), \( 3{,}1 \) und \( 1{,}8 \) bei \( L_{rad} / d = 0{,}027 \), \( 0{,}054 \) und \( 0{,}27 \) des (Viertel-)Kreises – als Sonderfall einer Ellipse – sind eindeutig jene des Ebenen Spannungszustands (ESZ).
  • Die Spannungsüberhöhungen des (Viertel-)Kreises für Axialsymmetrie (AS) ergeben sich nämlich zu etwa \( 3{,}3 \), \( 2{,}5 \) und \( 1{,}5 \).
  • Die Ellipse zeigt bei \( L_{rad} / d = 0{,}027 \), \( 0{,}054 \) und \( 0{,}27 \) für \( L_{ax} / L_{rad} \) Optima für ESZ bei ungefähr \( 1{,}9 \), \( 2{,}3 \) und \( 5{,}6 \) und für AS bei rund \( 1{,}8 \), \( 2{,}4 \) und \( 27 \).
  • \( L_{ax} / L_{rad} = 3{,}4 \) ist also nur optimal für ein \( L_{rad} / d \) von ca. \( 0{,}16 \) (ESZ) bzw. \( 0{,}14 \) (AS).
  • Bis zu diesen \( L_{rad} / d \) kommt die Ellipse bei optimal gewähltem \( L_{ax} / L_{rad} \) jedenfalls mit Baud und Traktrix aufs Podest!
  • Über diesen \( L_{rad} / d \) triumphiert die Traktrix wegen ihres geringen \( L_{ax} / L_{rad} \), mit Baud kann bei ESZ noch mitgehalten werden, bei AS geht der Anschluss schnell verloren.
  • 45°-Kreissegment, Zugdreieck und Tangens werden wegen Dopings und Praxisuntauglichkeit disqualifiziert.
  • Und selbst die passendste Ellipse ließe sich durch einen klassischen Korbbogen zumindest gleichwertig ersetzen!

Die folgende Datei zeigt obige Zusammenhänge nicht nur punktuell, sondern durchgehend von \( L_{rad} / d = 0{,}027 \) bis \( 0{,}27 \) bei Zug/Druckbelastung für ESZ und AS:

Scherenhubtisch Typ 3

Wie schon in den Beiträgen Scherenhubtisch Typ 1 und Scherenhubtisch Typ 2 möchte ich hier nochmals jedem das Buch Auslegung von Maschinenelementen von Stephan Regele ans Herz legen! Von den mitgelieferten Excel-Berechnungstools zu allen Kapiteln sollte jeder angetan sein. 😉

Auch bei Typ 3 soll wiederum eine relevante Reduktion der Zylinderkraft angestrebt werden, ohne die Konstruktion groß umzukrempeln. Gerechterweise sei angemerkt, das man nicht davon ausgehen kann, in den präsentierten Beispielen bereits Optimierungen anzutreffen! Aber als Ziel für eine preiswerte Herstellung und einen günstigen Betrieb darf es gelten.

Hat der komplex erscheinende Typ 3 das größte Optimierungspotenzial aller Typen?
Die Berechnung der Zylinderkraft kann man dem Buch entnehmen. Sind die Gelenkkräfte nicht von Interesse, dann liegt das Prinzip der virtuellen Verschiebungen näher. Normalerweise sprechen Reibungskräfte dagegen, sind sie aber, wie in diesem Fall, recht einfach zu eruieren, dann ist es oftmals der direktere Weg. Wenn man aus dem sich gemäß Buch ergebenden Gleichungssystem die Gelenkkräfte eliminiert, dann muss sich jedenfalls auch folgender Ausdruck ergeben:

\[ F_Z = -F \left[ a + b \pm \mu \tan \alpha \left( \left| b – a + c \sqrt { 1 + \tan ^2 \alpha } \right| + \vert c \vert \sqrt { 1 + \tan ^2 \alpha } \right) \right] \cdot \]
\[ \frac { \sqrt { \left[ e – g + \left( b + d – f \right) \tan \alpha \right] ^2 + \left[ b – d – f + \left( e + g \right) \tan \alpha \right] ^2 } } { 2 \left[ \left( b – f \right) e – d g + 2 \left( \left( b – f \right) d + e g \right) \tan \alpha – \left( \left( b – f \right) e – d g \right) \tan ^2 \alpha \right] } \]
mit \( \tan \alpha = \frac{ 1 } { \sqrt { \left( \frac{ a + b } { H } \right) ^2 – 1 } } \)

Ein Druckzylinder weist eine negative, ein Zugzylinder eine positive Zylinderkraft auf.
Je nachdem, ob angehoben oder abgesenkt wird, braucht es unterschiedliche Vorzeichen vor der Reibzahl \( \mu \), was mittels eines Schalters zufolge des gewählten Modus “Heben” oder “Senken” erreicht wird.
Die Beträge sind nötig, damit sich die Wirkungsrichtung der Reibungskräfte nicht umkehrt.
Der Makro für den Solver wird mittels Befehlsschaltfläche >>> Solver <<< gestartet, wobei folgendes gilt:

  • Es wird die betragsmäßig kleinste Zylinderkraft \( F_Z \) gesucht
  • Variable Parameter dafür sind \( a \), \( b \), \( c \), \( d \), \( e \), \( f \) und \( g \)
  • Diese werden nur variiert, wenn Unter- oder/und Obergrenze (Min, Max) vorliegt/vorliegen
  • Minimale oder/und maximale Zylinderlänge kann/können ebenfalls vorgegeben werden
  • Für die Abstände der Punkte S und Z zu den Grenzen A-D und B-C wurden eigene Nebenbedingungen geschaffen
  • Die Abstände \( a \) und \( c \) tendieren gegen 0, also gegebenenfalls Min > 0 setzen
  • Die Abstände \( d \), \( e \), \( f \) und \( g \) nicht allzu sehr einschränken, damit der Solver sie optimal kombinieren kann

Die folgende Datei enthält überdies zwei Diagramme, wobei die Geometrie unverzerrt dargestellt wird. Ein Makro erweckt sie mittels Befehlsschaltfläche >>> Animation <<< zum Leben und weckt hoffentlich auch Ihren Spieltrieb:

Scherenhubtisch Typ 2

Wie schon im Beitrag Scherenhubtisch Typ 1 möchte ich auch hier das Buch Auslegung von Maschinenelementen von Stephan Regele wärmstens empfehlen! Die mitgelieferten Excel-Berechnungstools zu allen Kapiteln haben es mir besonders angetan. 😉

Bei Typ 2 soll wiederum eine relevante Reduktion der Zylinderkraft angestrebt werden, ohne die Konstruktion groß umzukrempeln. Gerechterweise sei angemerkt, das man nicht davon ausgehen kann, in den präsentierten Beispielen bereits Optimierungen anzutreffen! Aber als Ziel für eine preiswerte Herstellung und einen günstigen Betrieb darf es gelten.

Der komplexere Typ 2 sollte ein größeres Optimierungspotenzial haben als Typ 1.
Die Berechnung der Zylinderkraft kann man dem Buch entnehmen. Sind die Gelenkkräfte nicht von Interesse, dann liegt das Prinzip der virtuellen Verschiebungen näher. Normalerweise sprechen Reibungskräfte dagegen, sind sie aber, wie in diesem Fall, relativ einfach zu eruieren, dann ist es oftmals der direktere Weg. Wenn man aus dem sich gemäß Buch ergebenden Gleichungssystem die Gelenkkräfte eliminiert, dann muss sich jedenfalls auch folgender Ausdruck ergeben:

\[ F_Z = -F \frac { a + b \pm \mu \tan \alpha \left( \left| b – a + c \sqrt { 1 + \tan ^2 \alpha } \right| + \vert c \vert \sqrt { 1 + \tan ^2 \alpha } \right) } { \frac { \mu \left( b + d \right) \tan \alpha \left( \tan \alpha + \tan \gamma \right) + e \left( 1 – \tan \alpha \tan \gamma \right) } { \sqrt { 1 + \tan ^2 \gamma } } + \frac { \left[ \left( \left( b + d \right) \tan \alpha + e \right) x_S – \left( b + d – e \tan \alpha \right) y_S \right] \sqrt { 1 + \tan ^2 \alpha } } { \sqrt { \left( b + d – e \tan \alpha – x_S \sqrt { 1 + \tan ^2 \alpha} \right) ^2 + \left( \left( b + d \right) \tan \alpha +e – y_S \sqrt { 1 + \tan ^2 \alpha} \right) ^2 } } } \]
mit \( \tan \alpha = \frac{ 1 } { \sqrt { \left( \frac{ a + b } { H } \right) ^2 – 1 } } \) und \( \tan \gamma = \frac { \left( b + d \right) \tan \alpha + e – y_S \sqrt { 1 + \tan ^2 \alpha } } { x_S \sqrt { 1 + \tan ^2 \alpha } – b – d + e \tan \alpha } \)

Ein Druckzylinder weist eine negative, ein Zugzylinder eine positive Zylinderkraft auf.
Je nachdem, ob angehoben oder abgesenkt wird, braucht es unterschiedliche Vorzeichen vor der Reibzahl \( \mu \), was mittels eines Schalters zufolge des gewählten Modus “Heben” oder “Senken” erreicht wird.
Die Beträge sind nötig, damit sich die Wirkungsrichtung der Reibungskräfte nicht umkehrt.
Der Makro für den Solver wird mittels Befehlsschaltfläche >>> Solver <<< gestartet, wobei folgendes gilt:

  • Es wird die betragsmäßig kleinste Zylinderkraft \( F_Z \) gesucht
  • Variable Parameter dafür sind \( a \), \( b \), \( c \), \( d \), \( e \), \( x_S \) und \( y_S \)
  • Diese werden nur variiert, wenn Unter- oder/und Obergrenze (Min, Max) vorliegt/vorliegen
  • Minimale oder/und maximale Zylinderlänge kann/können ebenfalls vorgegeben werden
  • Für die Abstände des Punktes Z zu den Grenzen A-D und B-C wurden eigene Nebenbedingungen geschaffen
  • Die Abstände \( a \) und \( c \) tendieren gegen 0, also gegebenenfalls Min > 0 setzen
  • Die Abstände \( d \) und \( e \) nicht allzu sehr einschränken, damit der Solver sie optimal kombinieren kann

Die folgende Datei enthält überdies zwei Diagramme, wobei die Geometrie unverzerrt dargestellt wird. Ein Makro erweckt sie mittels Befehlsschaltfläche >>> Animation <<< zum Leben und weckt hoffentlich auch Ihren Spieltrieb:

Scherenhubtisch Typ 1

Das Buch Auslegung von Maschinenelementen von Stephan Regele kann ich wärmstens empfehlen! Gemäß meiner Neigung auch wegen der mitgelieferten Excel-Berechnungstools zu allen Kapiteln. Dabei ist mir jenes der Scherenhubtische besonders aufgefallen, weil es Potenzial für Optimierungen bietet und sich somit der Solver geradezu aufdrängt. 😉

Versuche mit den Typen 2 und 3 haben gezeigt, dass eine erhebliche Reduktion der Zylinderkraft möglich wäre, ohne die Konstruktion groß umzukrempeln. Gerechterweise sei angemerkt, das man nicht davon ausgehen kann, in den präsentierten Beispielen bereits Optimierungen anzutreffen! Aber als Ziel für eine preiswerte Herstellung und einen günstigen Betrieb darf es gelten.

Selbst der einfach erscheinende Typ 1 bietet ein gewisses Optimierungspotenzial.
Die Berechnung der Zylinderkraft kann man dem Buch entnehmen. Sind die Gelenkkräfte nicht von Interesse, dann liegt das Prinzip der virtuellen Verschiebungen näher. Normalerweise sprechen Reibungskräfte dagegen, sind sie aber, wie in diesem Fall, einfach zu eruieren, dann ist es oftmals der direktere Weg. Wenn man aus dem sich gemäß Buch ergebenden Gleichungssystem die Gelenkkräfte eliminiert, dann muss sich jedenfalls auch folgender Ausdruck ergeben:

\[ F_Z = -F \frac { \left[ \frac { \left( a + b \right) ^2 \sqrt { 1 – \left( \frac { h } { a + b } \right) ^2 } } { h } \pm \mu \left( \left| b – a + \frac { c } { \sqrt { 1 – \left( \frac { h } { a + b } \right) ^2 } } \right| + \frac { \vert c \vert } { \sqrt { 1 – \left( \frac { h } { a + b } \right) ^2 } } \right) \right] \sqrt { \left( x_F – 2 b \sqrt { 1 – \left( \frac { h } { a + b } \right) ^2 } \right) ^2 + y_F ^2 } } { 2 b \left( x_F – 2 b \sqrt { 1 – \left( \frac { h } { a + b } \right) ^2 } \mp \mu y_F \right) } \]

Ein Druckzylinder weist eine negative, ein Zugzylinder eine positive Zylinderkraft auf.
Je nachdem, ob angehoben oder abgesenkt wird, braucht es unterschiedliche Vorzeichen vor der Reibzahl \( \mu \), was mittels eines Schalters zufolge des gewählten Modus “Heben” oder “Senken” erreicht wird.
Die Beträge sind nötig, damit sich die Wirkungsrichtung der Reibungskräfte nicht umkehrt.
Der Makro für den Solver wird mittel Befehlsschaltfläche >>> Solver <<< gestartet, wobei folgendes gilt:

  • Es wird die betragsmäßig kleinste Zylinderkraft \( F_Z \) gesucht
  • Variable Parameter dafür sind \( a \), \( b \), \( c \), \( x_F \) und \( y_F \)
  • Diese werden nur variiert, wenn Unter- oder/und Obergrenze (Min, Max) vorliegt/vorliegen
  • Minimale oder/und maximale Zylinderlänge kann/können ebenfalls vorgegeben werden
  • Die Abstände \( a \) und \( c \) tendieren gegen 0, also gegebenenfalls Min > 0 setzen

Die folgende Datei enthält überdies zwei Diagramme, wobei die Geometrie unverzerrt dargestellt wird. Ein Makro erweckt sie mittels Befehlsschaltfläche >>> Animation <<< zum Leben und befeuert hoffentlich auch Ihren Spieltrieb:


Versionstabelle

Klothoide

Die erste Bekanntschaft mit einer Klothoide dürfte den meisten Menschen nicht bewusst sein. Jedes Kind, das nicht vom Tretroller oder Fahrrad abgeworfen werden will, nutzt sie ganz natürlich, da es allmählich und nicht abrupt einlenkt.
Als stolzer Besitzer einer Spielzeugeisenbahn merkt man den schlagartigen Beginn der Kurvenfahrt, wenn man die Standardbögen nutzt. Würde das in der Realität ebenso sein, dann führte diese Schienenbindung zu in jeder Hinsicht schädlichen Querrucken. Die Passagiere täten sich jedenfalls bedanken! 😉
Wie ungebundene(re) Autofahrer “von der Bahn abkommen”, wenn sie “unrund” konzipiert ist, zeigt das folgende Bild:

Quelle: Gläser, Hans [1972]: Trassierung von Straßen und Gewässern

Ich kann mich nicht erinnern, dass die Klothoide in meiner Technikausbildung je näher beleuchtet wurde. Das dürfte bei anderen ähnlich gewesen sein, jedenfalls fand sie auch bei ausgewiesenen Anwendungsfällen (z. B. Rollenführungen) keinen Anklang!
Im Zuge der Beschäftigung mit der Kerbformoptimierung drängte sie sich wieder einmal auf, da man sich dort schon mit Ellipse, Tangens und Traktrix versucht hatte.
Das blieb zwar fruchtlos, die Auseinandersetzung hatte aber schon Früchte in Excel getragen.
Die folgende Datei enthält Formeln für den Ordinaten- und Abszissenwert zufolge einer Bogenlänge L und einer Konstanten A. Jeder einzelne Wert verlangt wegen der darin verarbeiteten Reihe die Eingabe als Matrixformel (Arrayformel) (STRG+UMSCHALT+EINGABE). Für die Berechnung mehrerer Werte wurde deswegen eine benutzerdefinierte Funktion CLOTHOID(Konstante;Bogenlänge am Ende;[Bogenlänge am Anfang];[Anzahl der Zwischenpunkte]) programmiert, wobei Konstante und Bogenlänge am Ende erwartet werden und Bogenlänge am Anfang und Anzahl der Zwischenpunkte optional sind. Die Funktion liefert gleichzeitig die Werte für Ordinate, Abszisse, Steigungswinkel und Krümmung, auf einzelne Werte davon greift man via Funktion INDEX zu:

Kerbformoptimierung mit Zugdreiecksmethode

Ich weiß nicht mehr, wie ich auf das Buch “Warum alles kaputt geht” von Professor Claus Mattheck gestoßen bin. Vielleicht habe ich wieder einmal nach meinem Steckenpferd “Bionik” gegoogelt. Jedenfalls gesellte es sich zu jenen von Professor Werner Nachtigall:

  • Vorbild Natur: Bionik-Design für funktionelles Gestalten
  • Bionik: Grundlagen und Beispiele für Ingenieure und Naturwissenschaftler
  • Das große Buch der Bionik: Neue Technologien nach dem Vorbild der Natur
  • Natur macht erfinderisch: Das große Buch der Bionik

Weitestgehend auf Mathematik verzichtend handeln die Seiten 98 bis 103 von einer möglichst kerbfreien Schulter eines abgesetzten Bauteils, das auf Zug beansprucht ist.
Im Formelanhang auf Seite 186 findet sich dafür unter dem Titel “Formoptimierung” folgende detailliertere Skizze:

Quelle: “Warum alles kaputt geht”, mit freundlicher Genehmigung von Professor Claus Mattheck

Die nächste Seite präsentiert dazu schließlich folgende Formeln: \[ \begin{array}{lcr}
& \Delta F_T = – \Delta F_Q & (1) \\
& F_T^i – F_T^{i + 1} = F_Q^{i + 1} – F_Q^i & \\
& F_T^{i + 1} = F_0 \frac {D_0} {D_{i + 1}} \cos \left( \sum_{k = 0}^i \alpha_k \right) & (2) \\
& F_T^i = F_0 \frac {D_0} {D_i} \cos \left( \sum_{k = 0}^{i – 1} \alpha_k \right) & (3) \\
& F_Q^{i + 1} = 2 F_T^{i + 1} \sin \left( \frac {\alpha_{i + 1}} 2 \right) & (4) \\
& F_Q^i = 2 F_T^i \sin \left( \frac {\alpha_i} 2 \right) & (5) \\
\text{mit} & D_{i + 1}=D_i + 2 s \sin \left( \sum_{k=0}^i \alpha_k \right) & \text{folgt aus (1) – (5):} \\
& \alpha_{i+1} = 2 \arcsin \left\{ \frac {\frac {D_{i+1}}{D_i} \cos \left( \sum_{k = 0}^{i-1} \alpha_k \right) \left[ 1 + 2 \sin \left( \frac {\alpha_i} 2 \right) \right] – \cos \left( \sum_{k = 0}^i \alpha_k \right)}{2 \cos \left( \sum_{k = 0}^i \alpha_k \right)} \right\} & (6)
\end{array} \]

Als einstmaliger Konstrukteur kam es mir so vor, als wollte man den klassischen Korbbogen in praxisuntauglicher Form akademisch neu erfinden. Als Berechnungsingenieur interessierte mich der Ansatz durchaus, weswegen ich ihn eingehender studierte.
Die Verhältnisse \( \frac {D_0}{D_{i + 1}} \) und \( \frac {D_0}{D_i} \) in den Gleichungen \( (2) \) und \( (3) \) sind eigentlich die Flächenverhältnisse mit herausgekürzter Dicke bei Zug- oder Druckspannung.
Zur allgemeinen Anwendung werden \( \left( \frac {D_0}{D_i} \right)^{k_W} \) und \( \left( \frac {D_0}{D_{i + 1}} \right) ^{k_W} \) als Widerstandsverhältnisse eingeführt, mit:
\( \bullet\ k_W = 1 \) für Zug und Druck eines ebenen Querschnitts der Breite \( D \)
\( \bullet\ k_W = 2 \) für die Biegung eines ebenen Querschnitts der Breite \( D \)
\( \bullet\ k_W = 3 \) für die Biegung und Torsion eines Kreisquerschnitts mit Durchmesser \( D \)
Damit ergibt sich eine universellere Formel für den lokalen Knickwinkel:
\[ \alpha_{i+1} = 2 \arcsin \left\{ \frac { \left( \frac {D_{i+1}}{D_i} \right)^{k_W} \cos \left( \sum_{k = 0}^{i-1} \alpha_k \right) \left[ 1 + 2 \sin \left( \frac {\alpha_i} 2 \right) \right]}{2 \cos \left( \sum_{k = 0}^i \alpha_k \right)} – \frac 1 2 \right\} \]

Daraus entstand eine App mit folgenden Eigenschaften:
Vorwahl der Spannungsart Zug/Druck, Biegung: Ebener QS, Biegung: Runder QS oder Torsion, Festlegung einer Segmentanzahl von 1 bis 10 und die Vorgabe eines Anfangsquerschnitts.
Mittels des Solvers werden Segmentlänge und Anfangswinkel derart variiert, dass etwaige Minima und Maxima derselben aber auch jene eines Abbruchwinkels und der Länge und Höhe der Kerbe eingehalten werden. Dabei wird immer versucht, die Höhe voll auszunützen. Die Koordinaten der sich ergebenden Spline-Punkte können sodann im CAD verwendet werden: