Ellipse approximiert durch Korbbogen

Im Beitrag Kerbformoptimierung mit Ellipse wird also die Ellipse als mögliche vorteilhafte Kerbform untersucht.
Skizzierer gängiger CAD-Systeme bieten heutzutage die Möglichkeit, vielfältige Kurven als parametrisierte Funktionen einzugeben. Damit wären also auch der im Beitrag von mir erwähnte Kosinus hyperbolicus, wahrscheinlich mit der Entsprechung \( \cosh = \frac { e^x + e^{ -x } }{ 2 } \), die Zykloide und selbst die Klothoide mittels Reihenentwicklung möglich. Das gilt gleichermaßen für die Traktrix und die von Professor Mattheck angeführten Kerbformen.

Nach dem Grundsatz “So wenig wie möglich, so viel wie nötig” mag aber auch eine Näherung gute Dienste leisten, wobei ich an den Korbbogen mit zwei Radien denke, wodurch gilt: \( R = \frac { a^2 + b^2 -2 a r }{ 2 \left( b – r \right) } \). Sollten zwei nicht reichen, dann sind zwar drei in der Architektur üblich und mehr davon denkbar, aber nicht ratsam. Entweder passt der Ansatz nicht oder man handelt sich einen unbeherrschbaren Sketcher ein!

Im Buch Maschinenelemente (H. Roloff, W. Matek, 7. Auflage, 1976), das ich noch aus HTBLA-Zeiten mein Eigen nenne und nutze, findet sich zum Kapitel Achsen, Wellen und Zapfen im Unterkapitel Allgemeine Gestaltungsrichtlinien folgende Empfehlung: Festigkeitsmäßig sehr günstig, konstruktiv jedoch nicht immer ausführbar, ist der Übergang mit zwei Rundungsradien, einem Korbbogen: \( r \approx d / 20 \), \( R \approx d / 5 \).
Das entspricht also einem fixen Verhältnis \( R / r \approx 4 \), was \( a = \frac { 2 }{ 7 } \left( 2 + 3 \sqrt { 2 } \right) b \approx 1{,}7836 \cdot b \) ergibt.

Sollen sich \( R \) und \( r \) den Halbachsen \( a \) und \( b \) variabel anpassen, dann könnten folgende Kriterien zielführend sein:

  • Gleicher Flächeninhalt
  • Gleicher Umfang
  • Gleiche Abweichung der Scheitelkrümmungsradien

Man kann die Halbachsen allerdings auch bloß als verfügbaren Raum sehen. Dann lässt sich für das Verhältnis \( r / R \) ein Maximum finden, wodurch gilt: \( r = \frac{a^2 + b^2 – \left( a – b \right) \sqrt{ a^2 + b^2 } }{ 2 a } \) und \( R = \frac{a^2 + b^2 + \left( a – b \right) \sqrt{ a^2 + b^2 } }{ 2 b } \). Ein deutlich größeres \( r \) als der Hauptscheitelkrümmungsradius bei nur geringfügig kleinerem \( R \) im Vergleich zum Nebenscheitelkrümmungsradius könnte vorteilhaft sein.

Für den Umfang der Ellipse kann man Näherungen verwenden, hier kam aber das Vollständige elliptische Integral II. Art als Benutzerdefinierte Funktion zur Anwendung. Überdies brauchte es wegen der transzendenten Gleichungen für Werte des Korbbogens die Zielwertsuche.
Die folgende Excel-App berechnet die angegeben Fälle automatisch bei sich ändernden Halbachsen. Fürs Spielen gibt es einen eigenen User-Fall. Die Ergebnisse werden in einem Diagramm unverzerrt dargestellt, wobei man mit den veränderbaren Zwischenpunkten nicht zu sparsam umgehen sollte: