Klothoide

Die erste Bekanntschaft mit einer Klothoide dürfte den meisten Menschen nicht bewusst sein. Jedes Kind, das nicht vom Tretroller oder Fahrrad abgeworfen werden will, nutzt sie ganz natürlich, da es allmählich und nicht abrupt einlenkt.
Als stolzer Besitzer einer Spielzeugeisenbahn merkt man den schlagartigen Beginn der Kurvenfahrt, wenn man die Standardbögen nutzt. Würde das in der Realität ebenso sein, dann führte diese Schienenbindung zu in jeder Hinsicht schädlichen Querrucken. Die Passagiere täten sich jedenfalls bedanken! 😉
Wie ungebundene(re) Autofahrer “von der Bahn abkommen”, wenn sie “unrund” konzipiert ist, zeigt das folgende Bild:

Quelle: Gläser, Hans [1972]: Trassierung von Straßen und Gewässern

Ich kann mich nicht erinnern, dass die Klothoide in meiner Technikausbildung je näher beleuchtet wurde. Das dürfte bei anderen ähnlich gewesen sein, jedenfalls fand sie auch bei ausgewiesenen Anwendungsfällen (z. B. Rollenführungen) keinen Anklang!
Im Zuge der Beschäftigung mit der Kerbformoptimierung drängte sie sich wieder einmal auf, da man sich dort schon mit Ellipse, Tangens und Traktrix versucht hatte.
Das blieb zwar fruchtlos, die Auseinandersetzung hatte aber schon Früchte in Excel getragen.
Die folgende Datei enthält Formeln für den Ordinaten- und Abszissenwert zufolge einer Bogenlänge L und einer Konstanten A. Jeder einzelne Wert verlangt wegen der darin verarbeiteten Reihe die Eingabe als Matrixformel (Arrayformel) (STRG+UMSCHALT+EINGABE). Für die Berechnung mehrerer Werte wurde deswegen eine benutzerdefinierte Funktion CLOTHOID(Konstante;Bogenlänge am Ende;[Bogenlänge am Anfang];[Anzahl der Zwischenpunkte]) programmiert, wobei Konstante und Bogenlänge am Ende erwartet werden und Bogenlänge am Anfang und Anzahl der Zwischenpunkte optional sind. Die Funktion liefert gleichzeitig die Werte für Ordinate, Abszisse, Steigungswinkel und Krümmung, auf einzelne Werte davon greift man via Funktion INDEX zu: