Winkel zwischen Vektoren

Für die Berechnung des Winkels zwischen Vektoren wird die Umformung des Skalarprodukts \( \vec a \cdot \vec b = \vert \vec a \vert \vert \vec b \vert cos∢( \vec a, \vec b ) \) verwendet: \[ \varphi = \arccos \frac { \vec a \cdot \vec b } { \vert \vec a \vert \vert \vec b \vert } = \arccos \frac { a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 } { \sqrt {a_1^2+a_2^2+a_3^2} \sqrt {b_1^2+b_2^2+b_3^2} } \]
Die dafür zur Verfügung stehende Excel-Funktion ARCCOS liefert den Arkuskosinus im Bogenmaß (Radiant) im Wertebereich von 0 (Null) bis \( \pi \) (Pi).
Damit lässt sich aber eine mir immer mal wieder gestellte Frage nicht eindeutig beantworten: “Um welchen Winkel muss man einen Vektor \( \vec a \) drehen, damit er zu einem Vektor \( \vec b \) gleichrichtet ist?”
ARCCOS liefert immer den eingeschlossenen Winkel zwischen 0 und 180°, auch wenn es der Implementwinkel (Ergänzungswinkel auf 360°) wäre. Das ist dem Kommutativgesetz geschuldet, welchem das Skalarprodukt gehorcht: \( \vec a \cdot \vec b = \vec b \cdot \vec a \).

Ein für die Fallunterscheidung notwendiger Indikator ist die y-Komponente des Vektors \( \vec b \) nach der gemeinsamen Drehung des Vektors \( \vec a \) in die z-x-Ebene. Bei \( b_y^\prime<0 \) ist der gesuchte Winkel nämlich der Implementwinkel. Das Minus für die Subtraktion liefert die Funktion VORZEICHEN (Sgn in VBA), wobei \( b_y^\prime=0 \) noch abgefangen werden muss, weil in diesem Fall 1 und nicht 0 gelten muss.

Die folgende Datei zeigt die Umsetzung “Schritt für Schritt” umfänglich mittels Drehmatrix zur Drehung um die z-Achse.
Für die Formeln ist dies nicht nötig, da nur die y-Komponente des gedrehten Vektors \( \vec b \) benötigt wird. Die “Formel ohne Zellbezüge” enthält die Berechnung von \( b_y^\prime \) 3 Mal, was die “Formel mit Namenbezug” mittels eines Namens erledigt.
Die Benutzerdefinierte Funktion VECTORANGLE(VektorA;VektorB) kann mit Zellbezügen und Matrixkonstanten umgehen und via VBA aufgerufen werden. Sie kann als Matrixformel (Arrayformel) angewendet werden, wobei Zeilenvektoren Voraussetzung sind. Spaltenvektoren müssen mittels MTRANS passend gemacht werden. Der 2-dimensionale Fall ist abgedeckt, indem die z-Koordinate als 0 angenommen wird: