Linie glätten 4

In Kubischer Spline mutmaße ich, dass die Straklatte der Idealfall für eine substantielle Verbesserung der Option “Linie glätten” (engl. “Smoothed line”) sei.
In Parametrische Spline-Interpolation erwähne ich, dass ich schon ein deutlich einfacheres und trotzdem funktionierendes Prinzip für eine Näherung mit den zwei Nachbarpunkten gefunden habe.
Um meine Gedankengänge – auch für mich selbst – nachvollziehbar zu erhalten, möchte ich allerdings vorerst meine Näherungsversuche zur Straklatte und deren schlussendlich gesuchte Steigung am Mittenpunkt präsentieren:

  • Die naheliegende natürliche Parametrische Spline-Interpolation durch 3 Punkte ist ein Schuss in den Ofen, weil sich allerhöchstens in Sonderfällen zufällig ein Kraftgleichgewicht ergibt. Dazu müssen sich nämlich die Tangentennormalen aller 3 Punkte in einem Punkt treffen. Den beiden Polynomen 3. Grades kann man das auch gar nicht vorwerfen, da sie dazu auch nicht die nötigen “Freiheiten” haben, um das überhaupt vorsehen zu können! Das Ergebnis ist die immer wieder ernüchternde Micrsoft’sche Methode.
  • Ein einzelnes Polynom muss den 5. Grad aufweisen, um alle Bedingungen erfüllen zu können. Da in den beiden Endpunkten die 2. Ableitung Null sein muss, bleibt eine übrig, die der allgemeinen Anwendbarkeit einen Strich durch die Rechnung macht, da sie sich unzulässigerweise in den betrachteten Bereich “einschleicht”!
  • Zu Versuchen mit höheren Graden und geschickten Annahmen mit beispielsweise komplexen Nullstellen sei nur angemerkt, dass sie fruchtlos waren. Ob dies der grundsätzlichen Unmöglichkeit oder meinem mathematischen Unvermögen geschuldet ist, werde ich wohl selbst nicht eruieren können.
  • Diese komplexen Höhen trieben mich in die triviale Niederung des 1. Grades. Die Straklatte wird durch 2 Geraden (Sekanten) ersetzt. Die Normalen darauf in den Endpunkten schneiden sich in einem Punkt, dessen Verbindung zum Mittenpunkt die Steigung in selbigem festlegt. Trotz “brutalem” Eck am Mittenpunkt zeigt sich schon der erwartete Widerspruch zur aktuellen Glättung!
  • Preisfrage: Was passiert, wenn man 2 Polynome 3. Grades heranzieht und alle Bedingungen bis auf das Kräftegleichgewicht einhält? Man kommt auf kompliziertem Weg zu Microsoft, deckungsgleich mit der oben erwähnten Spline-Interpolation!
  • Wenn man bei 2 Polynomen 3. Grades das Kräftegleichgewicht erfüllt und dafür die gleiche Krümmung am Mittenpunkt “opfert”, dann verstärkt sich der obige Widerspruch noch! Aber auch die Unsicherheit, wo denn die “Wahrheit” liegen könnte.
  • Um das einzelne Polynom 5. Grades zu ersetzen, braucht es eines 3. und eines 4. Grades. Da das Polynom 4. Grades auch einen “überzähligen” Wendepunkt hat, muss dieser “ausgeschlossen” werden. Dies gelingt verlässlich, wenn der vom Mittenpunkt weiter entfernte Punkt via 4. Grad verbunden ist!
    Dieser Ansatz bestätigt den vorhergehenden sehr gut.

Resümee:

  • 2 Polynome 1. Grades führen zu einer einfachen Formel für die gesuchte Steigung, wird aber durch keinen weiteren Ansatz bestätigt.
  • 2 Polynome 3. und 4. Grades erfüllen alle Bedingungen und werden durch 2 Polynome 3. Grades bestätigt. Der Aufwand ist aber unvertretbar hoch!
  • Also wird demnächst eine “Näherung der Näherung” in Form eines “deutlich einfacheres und trotzdem funktionierendes Prinzips” vorgestellt.

Oben Erwähntes habe ich wie immer in “Excel gegossen”, damit es nachvollziehbar bleibt und “spielbar” wird. Die folgende Datei enthält dazu die Ansätze mit

  • 1 Polynom 5. Grades,
  • 2 Polynome 1. Grades,
  • 2 Polynome 3. Grades (Microsoft),
  • 2 Polynome 3. Grades und
  • 2 Polynome 3. und 4. Grades: