Linie glätten 3

Wenn es um Kurvenverläufe geht, dann baue ich immer ein Gerüst, das gleichmäßig gerastert so fein wie nötig aber so grob wie möglich ist. Bei Optimierungen ist aber zufolge ständiger Veränderungen, insbesondere bei Verwendung des Solvers, nicht abzusehen, wo Stützpunkte gebraucht werden. Um Zwischenwerte und insbesondere Extrema in ausreichender Genauigkeit zu erhalten, kann man Werte der geglätteten Linie eines Punkt (XY)-Diagramms verwenden. Mittels Linie glätten konnte ich das umsetzen, ergänzt um Steigungen (primär für Extrema) durch Linie glätten 2.
Für den überwiegenden Bereich der geglätteten Linie ist dies durchaus praktikabel, aber die Segmente an beiden Enden präsentieren sich unbefriedigend! Dazu muss man wissen, dass der verwendete Catmull-Rom-Spline segmentweise immer 4 Punkte zu dessen Berechnung benötigt, wovon an diesen Enden einer fehlt. Die Excel-Entwickler bei Microsoft haben das sehr einfach gelöst, indem sie den jeweils vorletzten Punkt am letzten gespiegelt und damit den mathematisch unerlässlichen Hilfspunkt erzeugt haben. Dadurch ergibt sich am Endpunkt immer eine Tangente in Richtung des vorletzten Punktes, was wiederum ein Prinzip dieses Splines ist, dass der Vektor durch die beiden Nachbarpunkte die Tangentenrichtung vorgibt.
Eine bessere Wahl des Hilfspunkts könnte Abhilfe schaffen, wobei das Prinzip natürlich unangetastet bleiben soll. Eine Quadratische Bézierkurve bietet prinzipiell alles Wünschenswerte, mit dem Schönheitsfehler, dass von deren 3 bestimmenden Punkten einer nicht auf der Kurve liegt! Aber die Funktionsgleichung lässt sich so umformen, dass unser Kurvenpunkt jenen des Kontrollpolygons bestimmt. Dabei muss für die Beibehaltung obigen Tangentenprinzips der Parameter t = 0,5 gesetzt sein.
Der Schenkel des Kontrollpolygons zum Endpunkt ist dessen Tangente. Spiegelt man nun den vorletzten Punkt mittels Spiegelungsmatrix an der Tangentennormalen durch den Endpunkt, dann ergibt sich der Verlauf der geglätteten Linie deutlich verbessert, wobei das Prinzip der Tangentendefinition wiederum erfüllt ist!
Linie glätten und Linie glätten 2 wurden um diese Option ergänzt.
Die folgende Datei zeigt das erläuterte Prinzip durch 3 frei wählbare Punkte, was den Spieltrieb anstacheln sollte:

Linie glätten 3

PS: Sollte jemand eine bessere Lösung parat haben, dann bitte her damit! Vielleicht kann man sogar Microsofts Excel-Entwickler zur Implementierung animieren?!