Gewindeparameter

Die Steifigkeit von Verschraubungen sollte in FE-Analysen möglichst realistisch abgebildet werden. Dazu kann der Nenndurchmesser auf einen Wert im Bereich zwischen virtuellem Durchmesser zum Spannungsquerschnitt und Kerndurchmesser reduziert werden. Letzterer lässt sich bei Normsteigungen in Tabellen finden, der Durchmesser zum Spannungsquerschnitt allerdings nicht!
Die folgende Datei errechnet einige Parameter metrischer ISO-Gewinde mit Grundprofil nach DIN ISO 68-1, wobei die vorhandenen Gewindeabmessungen und deren zugeordnete Steigungen beliebig modifiziert werden können:

Versionstabelle

Gewindeparameter-1.01

 

Bildereinpassung

Beim Verfassen von Berichten steht man hin und wieder vor der Herausforderung, mehrere nebeneinander angeordnete Bilder unterschiedlicher Höhe auf die gleiche Höhe zu bringen und dabei eine bestimmte Gesamtbreite einzuhalten.
Die folgende Datei erlaubt dies für bis zu 10 Bilder:

Bildereinpassung

Matrizenmultiplikation in Spalte oder Zeile

Nicht selten möchte man mehrere Varianten einer Berechnung unmittelbar neben- oder untereinander anordnen, um gut vergleichen zu können. Lästig, wenn sich im Rechengang ein Schritt befindet, der sich nicht mit einer Spalte oder Zeile begnügt!
Die folgende Datei zeigt, wie man eine Matrizenmultiplikation in nur einer Spalte oder Zeile umsetzen kann, wobei die dafür verwendeten 2×2-Matrizen nur das Prinzip zeigen sollen. Die Übertragung auf andere Konstellationen sollte leicht gelingen:

Matrizenmultiplikation in Spalte oder Zeile_SpalteMatrizenmultiplikation in Spalte oder Zeile_Zeile

Bolzenschrägstellung in Bohrung

Bei manchen Konstruktionen ist es von Interesse, festzustellen, inwieweit sich ein Bolzen in einer Bohrung schräg stellen kann.
Die folgende App erlaubt die Berechnung des Winkels dieser Schrägstellung aus 3 erforderlichen Angaben:

Bolzenschraegstellung in Bohrung

Bessel-Punkte

Bei der symmetrischen Position der Auflager von gleichmäßig belasteten Balken wird leider gerne übersehen, dass es Optima für verschiedene Kriterien gibt:

Geringste Längenverkürzung der neutralen Faser

Dieses Kriterium erfüllen die sogenannten Bessel-Punkte. Dazu wird in erster Näherung die Ableitung des Integrals des Quadrats der Steigung der Biegelinie zu Null gesetzt, um das Optimum zu finden, was zu einem Polynom 5. Grades \( 2 \left ( \frac a L \right ) ^5 + 35 \left ( \frac a L \right ) ^4 – 40 \left ( \frac a L \right ) ^3 + 5 \left ( \frac a L \right ) ^2 + 5 \frac a L – 1 = 0 \) führt. Entweder man löst dieses numerisch oder man weiß eine der Nullstellen mit \( \frac a L = 0{,}5 \), wenn beide Auflager in der Mitte des Balkens “verschmelzen”, dann kann das mittels Polynomdivision reduzierte Polynom \( 2 \left ( \frac a L \right ) ^4 + 36 \left ( \frac a L \right ) ^3 – 22 \left ( \frac a L \right ) ^2 – 6 \frac a L + 2 = 0 \) exakt gelöst werden: \[ \frac a L \approx 0{,}22031 \]

Weitere Kriterien führen zu Polynomen 2. und 3. Grades \( \left( n \right) \) der allgemeinen Form \( \sum_{i = 0} ^n k_i x^i = 0 \). Deren Nullstellen folgen aus
\[ \left( \frac a L \right) _{1,2} = \frac{- k_1 \pm \sqrt{k_1 ^2 – 4 k_2 k_0}}{2 k_2}\] und \[ \left( \frac a L \right) \begin {Bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end {Bmatrix} = \begin {Bmatrix} – \\ + \\ – \end {Bmatrix} \frac{2 \sqrt{\left | k_2 ^2 – 3 k_1 k_3 \right |}}{3 k_3} \cos \left[ \frac{1}{3} \arccos \left ( \frac{9 k_1 k_2 k_3 – 27 k_0 k_3 ^2 -2 k_2 ^3}{2 \sqrt {\left | k_2 ^2 – 3 k_1 k_3 \right | ^3}} \right ) \begin {Bmatrix} -1 \\ +0 \\ +1 \end {Bmatrix} \cdot \frac{\pi}{3} \right ] – \frac{k_2 / k_3}{3} . \]
Aus mehreren reellen Nullstellen muss die physikalisch sinnvolle gewählt werden, wobei Polynom-Nullstellen behilflich sein kann!

Geringste Längenveränderung an der Oberfläche

Dieses Kriterium erfüllen die sogenannten Airy-Punkte, die horizontale Tangenten an den Enden fordern: Das Polynom \( 6 \left( \frac{a}{L} \right) ^2 – 6 \frac{a}{L} + 1 = 0 \) hat 2 reelle Nullstellen, die daraus sinnvolle ist:
\[ \frac a L = \frac {3 – \sqrt {3}} 6 \approx 0{,}211325 \]

Minimale Biegung

Als Kriterium gilt gleiche Durchbiegung in der Mitte und an den Enden: Das Polynom \( 32 \left( \frac a L \right) ^3 – 24 \frac a L + 5 = 0 \) offeriert 3 reelle Nullstellen, die darin gesuchte ist:
\[ \frac a L \approx 0{,}223149 \]

Null-Biegung in der Balkenmitte

Das Polynom \( 16 \left( \frac a L \right) ^4 + 64 \left( \frac a L \right) ^3 – 96 \left( \frac a L \right) ^2 + 40 \frac a L – 5 = 0 \) kann wegen der doppelten Nullstelle \( \frac a L = 0{,}5 \) auf \( 4 \left( \frac a L \right) ^2 + 20 \frac a L – 5 = 0 \) reduziert werden. Dieses bietet 2 reelle Nullstellen, die darin richtige ist:
\[ \frac a L = \frac {\sqrt {30} – 5} 2 \approx 0{,}238613 \]

Null-Biegung am Balkenende

Das Polynom \( \left( \frac a L \right) ^3 + 6 \left( \frac a L \right) ^2 – 6 \frac a L + 1 = 0 \) hat 3 reelle Nullstellen, die darin passende ist:
\[ \frac a L \approx 0{,}214175 \]

Minimale mittlere Durchbiegung

Das Kriterium erfordert minimale Verzerrungsenergie und bedeutet gleichzeitig horizontale Tangenten an den dadurch momentfreien Auflagern: Das Polynom \( 4 \left( \frac{a}{L} \right) ^3 + 6 \left( \frac{a}{L} \right) ^2 – 6 \frac{a}{L} + 1 = 0 \) liefert 3 reelle Nullstellen, die davon relevante ist:
\[ \frac a L \approx 0{,}224745 \]

Geringste maximale Biegespannung

Dieses Kriterium fordert betragsmäßig gleiches Biegemoment in der Mitte und an den Auflagern: Das Polynom \( 4 \left( \frac{a}{L} \right) ^2 + 4 \frac{a}{L} – 1 = 0 \) bietet 2 reelle Nullstellen, die darunter passende ist:
\[ \frac a L = \frac {\sqrt {2} – 1} 2 \approx 0{,}207107 \]

Die folgende Datei zeigt dies in Diagrammen für die Durchbiegung und das Biegemoment. Deren Verhältnisse zur Lagerung an den Enden wird errechnet. Eine Animation macht das ganze besonders anschaulich:

Versionstabelle

Sollte jemand mit 2 Auflagern nicht das Auslangen finden, dann bieten sich die Geyer-Punkte an! 😉

Punkt (XY)-Diagramm unverzerrt

Nicht nur Bilder sagen mehr als 1000 Worte, sondern auch Diagramme!
Techniker verwendet dazu gerne sogenannte Punkt (XY)-Diagramme, um beispielsweise Geometrie darzustellen. Lästig dabei ist allerdings, dass diese verzerrt wird und es zur Korrektur ein permanentes manuelles Justieren braucht.
Selbst davon betroffen, suchte ich wie viele andere in etlichen Foren vergeblich nach Hilfe.
Die folgende Datei zeigt eine VBA-Lösung für ein Tabellenblatt oder mehrere Tabellenblätter mit Diagramm(en) und/oder Diagrammblättern:

Punkt (XY)-Diagramm unverzerrt

Winkel quadrantenrichtig

Beim in der Mechanik häufig benötigten Gleichgewicht von Kräften und Momenten ist die eindeutige Bestimmung der Komponenten in allen Quadranten nötig. Der dafür benötigte Winkel errechnet sich gewöhnlich mit:

  • ARCTAN liefert einen Winkel im Bogenmaß zwischen -π/2 und π/2 (an den beiden Grenzen liegt allerdings #DIV/0! vor);
  • ARCTAN2 liefert einen Winkel im Bogenmaß zwischen -π und π (ausgenommen -π).

Die folgende Datei bietet 2 Lösungen an, wobei ein Winkel im Bogenmaß zwischen 0 und 2·π (ausgenommen 2·π) geliefert wird:

  • ARCTAN2 + Term;
  • ARCTAN3 als Benutzerdefinierte Funktion.

Winkel quadrantenrichtig

Minus vor Potenz

Es war einmal … ein überraschendes Ergebnis in Excel, dessen Ursache erst nach längerem Suchen zu finden war.
Ich hatte eine Formel eingegeben, die vor dem ersten Bezug ein Minus aufwies. An und für sich nichts besonderes, außer dass dieser Bezug quadriert wurde. Und Excel betrachtet solch ein Minus nicht als Operand sondern als Vorzeichen, wodurch sich ein positiver Wert ergab! Die folgende Datei soll die Problematik illustrieren:

Minus vor Potenz